2009　同志社大　文化情報学部2月27日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の命題の対偶を述べ，その真偽を調べよ．

「$x+y>0$ならば$x>0$または$y>0$である．」

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　${(x+2y+3z)}^8$の展開式において，$x^4{y}^2{z}^2$の係数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　次の不等式を解け．

$|x-2|<2x-3$

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　底面の直径と高さが等しい円柱，円柱にちょうど入る球，円柱と底面を共有し，同じ高さの直円錐を考える．円柱，球，円錐の表面積の比を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　正の数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，次式が成り立つことを示せ．

$a^3+b^3+c^3=3abc$

【２】　$f(x)=x^2+ax+b$とする．$f(x)=0$は相異なる実数解$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$がみたす関係式を求め，その関係式の表す領域を$(a,b)$平面に図示せよ．

(2)　$0<\alpha <\beta$となるために，$a\text{，}b$のみたすべき関係式を求め，その関係式の表す領域を$(a,b)$平面に図示せよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_p^q}f(x)dx={\displaystyle \frac{q-p}{6}}(f(p)+4f(m)+f(q))(\text{ただし，}m={\displaystyle \frac{p+q}{2}})$を示せ．

(4)　(3)を用いて

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

を示せ．

【３】　平面上に異なる$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と円$C$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=k$$\text{（}-2<k<0\text{）}$とする．点$\mathrm{O}$および点$\mathrm{B}$は円$C$上にあり，円$C$は直線$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{O}$で接する．以下の問いに答えよ．

(1)　$l$を実数として，ベクトル$\overrightarrow{d}=l\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$の大きさ$\left|\overrightarrow{d}\right|$が最小になるときの$l$の値を$k$を用いて表せ．

(3)　円$C$の円周上の点を$\mathrm{P}$として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とする．円$C$のベクトル方程式を$\overrightarrow{p}\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}k$を用いて表せ．

(4)　直線$\mathrm{AB}$と円$C$の交点のうち，$\mathrm{B}$と異なる交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}k$を用いて表せ．