2009　関西大　文系学部2月3日実施MathJax

【１】　$x>1$の範囲で定義された関数$f(x)={\log }_{2}x+{\log }_{x}16$について，次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　$f(8)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{3}}\text{，}f(8^3)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{②}}}{9}}$である．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，

$f(8^n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{③}}{n}^2+\boxed{\text{④}}}{3n}}$

と表すことができる．

(3)　$x>1$のとき，$f(x)$は$x=\boxed{\text{⑤}}$で最小値$\boxed{\text{⑥}}$をとる．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$a$は実数の定数とする．$P(x)=x^3+(2a-1)x^2+(3-2a)x-3$は$a$で整理すれば$(\boxed{\text{①}})a+\boxed{\text{②}}$となり，$P(x)$は$P(x)=(x-\boxed{\text{③}})(\boxed{\text{④}})$と因数分解できる．$P(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$a$の値の範囲は

$a<\boxed{\text{⑤}}\cdots \text{(ⅰ)}$

または

$\boxed{\text{⑤}}<a<\boxed{\text{⑥}}\cdots \text{(ⅱ)}$

または

$\boxed{\text{⑦}}<a\cdots \text{(ⅲ)}$

である．$\alpha =\boxed{\text{③}}$とし，$\boxed{\text{④}}=0$の解を$\beta \text{，}\gamma \text{（}\beta <\gamma \text{）}$とする．

　上の条件$\text{(ⅱ)}$のとき$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の大小を調べれば$\boxed{\text{⑧}}<\boxed{\text{⑨}}<\boxed{\text{⑩}}$である．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式${\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}}=k$の解が${\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<\frac{5\pi }{12}}$の範囲に存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　方程式${\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}}=k$の解が${\displaystyle \frac{\pi }{6}<x<\frac{5\pi }{12}}$の範囲にただ$1$つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．