2009　関西大　文・総合情報学部2月2日実施MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．すなわち，

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$

である．初項$a_1=1$であり，かつ

$S_{n+1}=3S_n+4n\text{（}n\geqq 1\text{）}$

が成立している．このとき，次の問いに答えよ．

（1)　$a_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$a_n$を求めよ．

【２】　$2$つの放物線

• $C_1:y=x^2$
• $C_2:y=x^2-px+q\text{（}p\text{，}q\text{は定数で，}p>0\text{）}$

がある．直線$l$はこの両方の放物線に接しており，$l$と$C_1$との接点の$x$座標は$\alpha \text{，}l$と$C_2$との接点の$x$座標は$\beta$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\beta -\alpha ={\displaystyle \frac{p}{2}}\text{，}\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{2q}{p}}$を示せ．

(2)　$C_1\text{，}{C}_2$と$l$で囲まれる部分の面積を$p$を用いて表せ．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$2{\sin }^{2}x-\cos x-1=0$を満たす$x$は，$0\leqq x<2\pi$の範囲で$x=\boxed{\text{①}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　実数$x\text{，}y$が

$5x^2+4y^2-4xy+4x+1=0$

を満たしているとき，$x=\boxed{\text{②}}\text{，}y=\boxed{\text{③}}$である．　

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　直線$y=mx\text{（}m>0\text{）}$は円${(x-2)}^2+y^2=1$と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．原点$\mathrm{O}\text{，}$点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$はこの順で直線$y=mx$上に並んでいる．点$\mathrm{Q}$をこの円の中心とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(1,0)\text{，}$点$\mathrm{R}$の座標を$(3,0)$とする．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標を，それぞれ$\alpha \text{，}\beta$とし，$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$を$m$を用いて表すと，

$\alpha +\beta =\boxed{\text{①}}\text{，}\alpha \beta =\boxed{\text{②}}$

であり，$\beta$を$\alpha$のみを用いて表すと，$\beta =\boxed{\text{③}}$である．

　いま，$▵\mathrm{APQ}$と$▵\mathrm{ABQ}$の面積が等しいとする．このとき，$\beta$と$\alpha$の比

$\beta :\alpha =\boxed{\text{④}}$

なので，

$\alpha =\boxed{\text{⑤}}\text{，}\beta =\boxed{\text{⑥}}\text{，}m=\boxed{\text{⑦}}$

となる．したがって，$▵\mathrm{ABQ}$の面積は$\boxed{\text{⑧}}\text{，}▵\mathrm{ABR}$の面積は$\boxed{\text{⑨}}$である．