2009　関西大　全学部日程文系学部2月7日実施MathJax

【１】　大小$2$つのサイコロを投げる．大きいサイコロの目を$A\text{，}$小さいサイコロの目を$B$とする．このとき，$2$次方程式

$x^2-Ax+B=0\cdots \text{(ⅰ)}$

の解について次の$\boxed{}$を数値でうめよ．

(1)　(ⅰ)が$x=1$を解としてもつ確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　(ⅰ)が$x=2$を解としてもつ確率は$\boxed{\text{②}}$である．

(3)　(ⅰ)が$2$つの異なる実数の解をもつ確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(4)　(ⅰ)が$2$つの異なる整数の解をもつ確率は$\boxed{\text{④}}$である．

(5)　(ⅰ)が実数の解をもたない確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$を数値でうめよ．ただし，$\boxed{\text{①}}\text{，}\boxed{\text{②}}$の数値は整数である．

　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さが，それぞれ$\mathrm{AB}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{7}\text{，}\mathrm{CD}=\sqrt{2}\text{，}\mathrm{DA}=1$であるとする．このとき，${\mathrm{AC}}^2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}+\sqrt{\boxed{\text{②}}}}{2}}$だから$\mathrm{AC}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\boxed{\text{③}}}{2}}$となる．

　また，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおくと${\sin }^2\theta =\boxed{\text{④}}$だから${\sin }^2\theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{AC}}^2}{\boxed{\text{⑤}}}}$となり，円の半径は$\boxed{\text{⑥}}$であることがわかる．また，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　$0\leqq x<2\pi$のとき，関数

$y=2{\sin }^{2}x\cos x+2\sin x{\cos }^{2}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}\sin x+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cos x$

について次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin x+\cos x$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．

(2)　(1)で定義された$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$y$の最大値を求めよ．