2009　関西大　全学部・センター理系2月7日実施MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0<x\leqq 2\pi$のとき，不等式$|\sin x|<x$を示せ．

(2)　$f_1(x)=\sin x$とおく．定数$a$は$0<a\leqq 2\pi$を満たすとする．

$f_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{1}{2a}}{\displaystyle {\int }_{x-a}^{x+a}}{f}_n(t)dt\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．$f_2(x)$を求めよ．

(3)　一般の自然数$n$に対し，$f_n(x)$を求めよ．

(4)　与えられた$x$について，級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}_n(x)$を求めよ．

【２】　$A=\left(\begin{array}{cc}-1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -1\end{array}\right)$とし，正の整数$n$に対し$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$n$が$3$の倍数の場合と$3$の倍数でない場合に分けて，$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$m$を正の整数とする．数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第$3m$項までの和

$a_1+a_2+\cdots +a_{3m}$

を$m$の式で表せ．

(3)　

$|b_n|>{10}^{100}$

となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として，これを用いてもよい．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　$p>0$を定数とする．双曲線

$p{x}^2-y^2=1\cdots$(A)

の$2$つの漸近線の方程式は

$y=\pm \boxed{\text{①}}x\cdots$(B)

で与えられる．

　この双曲線には，点$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p}}},2)$を通る接線が$2$つある．接点が$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p}}},0)$である接線の方程式は$\boxed{\text{②}}$である．

　これと異なる接線の方程式の傾きを$m$とおくと，この方程式は

$y=m(x-\boxed{\text{③}})+\boxed{\text{④}}\cdots$(C)

と表される．(C)が(A)と接するのであるから，$m$は$p$を用いて，

$m=\boxed{\text{⑤}}$

と表される．この$m$を(C)の式に代入して整理すると，(C)は

$y=\boxed{\text{⑤}}x+\boxed{\text{⑥}}$

と表される．

　接線(C)と双曲線(A)との接点の座標は

$(\boxed{\text{⑦}},\boxed{\text{⑧}})$

と求められる．

　$p={\displaystyle \frac{1}{4}}$の場合の，双曲線(A)，漸近線(B)，接線(C)の概形を$\boxed{\text{⑨}}$にかけ．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　 $▵\mathrm{ABC}$の$3$つの角$A\text{，}B\text{，}C$に対して，$\sin A:\sin B:\sin C=2:3:4$であるとき，$\cos 2A$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{①}}}{32}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$t-{\displaystyle \frac{1}{t}}=3$のとき，$t^4+{\displaystyle \frac{1}{t^4}}=\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　空間の$4$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)\text{，}\mathrm{D}(3,-5,z)$が同じ平面上にあるとき，$z=\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$f(x)={(\sqrt[3]{x})}^{x^2}\text{（}x>0\text{）}$の導関数は$f^{\prime }(x)=x^{\frac{x^2}{3}}\cdot \boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{e^{-2x}}{1+e^{-x}}}dx=\boxed{\text{⑤}}+C$

　ただし，$C$は積分定数である．