2009　福岡大学　医学部医学科MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$次方程式$x^3+a{x}^2+bx+3=0$の$1$つの解が$1-\sqrt{2}i$であるとき，実数$a\text{，}b$の値は$(a,b)=\boxed{\text{(1)}}$である．また，この方程式の他の解は$\boxed{\text{(2)}}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$が$a_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{3-2a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たしているとする．$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}-1$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと$b_{n+1}=\boxed{\text{(3)}}$である．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$2$次関数$y=x^2-ax+1\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とし，$d(a)=M-m$とする．このとき，$-1\leqq a\leqq 0$ならば$d(a)=\boxed{\text{(5)}}$である．また，$-1\leqq a\leqq 1$における$d(a)$の最小値は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　箱の中に$1$から$9$までの番号を$1$つずつ書いた$9$枚のカードがある．この中から$1$枚ずつ合計$3$枚のカードを選び，順に並べる．$1$枚目のカードが$1$でなく，かつ$2$枚目のカードが$2$でない確率は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，$1$枚目のカードが$1$でなく，かつ$2$枚目のカードが$2$でなく，かつ$3$枚目のカードが$3$でない確率は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$3$直線$y=0\text{，}2x-y=0\text{，}x+2y-a=0\text{（}a>0\text{）}$で作られる三角形の外接円の半径を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{(3)}}$である．また，内接円の半径が${\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}}$となるときの$a$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　関数$y={\displaystyle \frac{x^2}{x^3-1}}$の極値を求めよ．

(ⅱ)　$x$についての方程式$k{x}^3-x^2-k=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．