2008　福岡大学　人文，経済学部前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x+x^{-1}=\sqrt{5}$のとき，$x^3+x^{-3}=\boxed{\text{(1)}}$である．$2^n<3^{10}<2^{n+1}$を満たす整数$n$を求めると，$n=\boxed{\text{(2)}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，不等式$4{\cos }^2\theta +2(\sqrt{3}-1)\sin \theta \geqq 4-\sqrt{3}$を満たす$\theta$の範囲は$\boxed{\text{(3)}}$である．$2$直線$-\sqrt{3}x+y=1$と$(1-\sqrt{3})x+(1+\sqrt{3})y=1$のなす角は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　円$x^2+y^2+ax-(a+1)y+a=0$は，定数$a$の値によらず点$(0,1)$および点$\mathrm{A}=\boxed{\text{(5)}}$を通る．また，$a=1$のとき，点$\mathrm{A}$における接線の方程式は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$について，その辺の長さが$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CD}=2\text{，}\mathrm{DA}=3$であるとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\boxed{\text{(1)}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　兄弟でゲームをする．$1$回のゲームで兄が勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$弟が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{5}}$である．ゲームを$4$回行ったとき，兄が$3$回以上勝つ確率は$\boxed{\text{(3)}}$である．また，先に$3$勝した方を優勝とするとき，ちょうど$5$回目のゲームで優勝が決まる確率は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$x$の関数$f(x)=x^2+px+2q$が${\displaystyle {\int }_1^3}f(x)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たしているとする．ただし，$p\text{，}q$は定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$p$を$q$を用いた式で表せ．

(ⅱ)　関数$F(x)={\displaystyle {\int }_1^x}f(t)dt$が$x=3$で極値の$1$つをとるとき，関数$F(x)$の極大値を求めよ．