2010　北海道大学　後期MathJax

【１】　次の連立不等式の表す領域を$D$とする．

$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\leqq 25\\ (y-2x-10)(y+x+5)\leqq 0\end{array}$

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$がこの領域$D$を動くとき，$x+2y$の最大値$M$と最小値$m$を求めよ．また，$M\text{，}m$を与える$D$の点を求めよ．

(3)　$a$を実数とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$ax+y$が点$(-3,4)$で最大値をとるような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$c$を実数として，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x$に対して$c{x}^2\geqq \log (1+x^2)$となるような$c$の範囲を求めよ．

(2)　$c$は(1)で求めた範囲にあるものとする．$2$つの曲線$y=c{x}^2$と$y=\log (1+x^2)\text{，}$および，$2$つの直線$x=1$と$x=-1$で囲まれる図形の面積が$4$となる$c$の値を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$a$の正三角形$D_0$から出発して，多角形$D_1\text{，}{D}_2\text{，}\cdots \text{，}{D}_n\text{，}\cdots$を次のように定める．

(ⅰ)　$\mathrm{AB}$を$D_{n-1}$の$1$辺とする．辺$\mathrm{AB}$を$3$等分し，その分点を$\mathrm{A}$に近い方から$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(ⅱ)　$\mathrm{PQ}$を$1$辺とする正三角形$\mathrm{PQR}$を$D_{n-1}$の外側に作る．

(ⅲ)　辺$\mathrm{AB}$を折線$\mathrm{APRQB}$で置き換える．

$D_{n-1}$のすべての辺に対して(ⅰ)〜(ⅲ)の操作を行って得られる多角形を$D_n$とする．

　以下の問いに答えよ．

(1)　$D_n$の周の長さ$L_n$を$a$と$n$で表せ．

(2)　$D_n$の面積$S_n$を$a$と$n$で表せ．

(3)　${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}}{S}_n$を求めよ．

【４】　座標平面上の点$(x,y)$を点$(x^{\prime },y^{\prime })$に移す点の移動$f$が行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を用いて

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

で表されるとき，$f$を$1$次変換という．このとき$A$を$1$次変換$f$を表す行列という．

　$t$を実数とし，座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(1,3)\text{，}\mathrm{Q}(2,-1)\text{，}\mathrm{R}(t,{\displaystyle \frac{1}{3}}{t}^2-5)$をとる．

(1)　$\mathrm{P}$を$\mathrm{Q}$に移し，$\mathrm{Q}$を$\mathrm{P}$に移す$1$次変換$g$を表す行列を求めよ．

(2)　さらに，$g$が$\mathrm{R}$を$\mathrm{R}$自身に移すとする．このときの$t$と$\mathrm{R}$を求めよ．

(3)　上で求めた$\mathrm{R}$のうち$t<0$であるものについて，集合$\{f(\mathrm{P}),f(\mathrm{Q}),f(\mathrm{R})\}$が集合$\{\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}\}$と等しくなるような$1$次変換$f$の個数を求めよ．ただし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$f$で移した点をそれぞれ$f(\mathrm{P})\text{，}f(\mathrm{Q})\text{，}f(\mathrm{R})$とする．