2010　帯広畜産大学　前期総合問題

【１】　自然数$n$に対して，$\{a_n\}$は初項$a\text{，}$一般項$a_n$の数列であり，$\{b_n\}$は初項$b\text{，}$一般項$b_n$の数列である．座標平面上の点${\mathrm{P}}_n(a_n,b_n)\text{，}$点${\mathrm{P}}_{n+1}(a_{n+1},b_{n+1})$と点${\mathrm{Q}}_n(a_{n+1},b_n)$の座標は数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$によって与えられる．また，点${\mathrm{P}}_n$と点${\mathrm{P}}_{n+1}$を通る直線の傾き$g_n$と$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n$の面積$h_n$は，それぞれ$g_n=c{b}_n\text{，}{h}_n=d{g}_n$で定義され，各点の位置関係は右図のようになる．ここで，$h_n$を一般項とする数列を$\{h_n\}$で表し，また，$d>0\text{，}$任意の$n$について$a_{n+1}>a_n\text{，}{h}_n>0$と仮定する．

問１　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$と$\{h_n\}$の中から等差数列と等比数列を見つけ，それぞれの公差または公比を$c$と$d$で表しなさい．

問２　数列$\{a_n\}$と数列$\{b_n\}$について，それぞれの一般項と，初項から第$n$項までの和を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$および$N$で表しなさい．

問３　$d={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$c$の値の範囲を求めなさい．

問４　$b=1\text{，}d={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}4h_2-6h_1-1=0$のとき，$c$の値を求めなさい．

問５　${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$と${\mathrm{Q}}_1$の各点を用いて，$\alpha =\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}\beta =\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3\text{，}\theta =\mathrm{\angle }{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3$と定義する．$b=1\text{，}c={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}d={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$\tan \alpha \text{，}\tan \beta$と$\tan \theta$を求めなさい．

【２】　関数

$f(t)={\sin }^{2}t+2x\cos t$

の$t$に関する最大値$M(x)$を$x$の函数とする．

問１　$-1<x<1$のとき，$M(x)$を$x$を用いて表し，曲線$y=M(x)$の概形を描きなさい．

問２　曲線$y=G(x)=3x^2$と$y=M(x)$で囲まれる図形の面積を求めなさい．

問３　直線$y=x-2$上の点$\mathrm{Q}$から，曲線$y=G(x)$に引いた$2$本の接線$L_1\text{，}{L}_2$の接点の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

問４　$2$本の接線$L_1\text{，}{L}_2$と曲線$y=G(x)$で囲まれる図形の面積の最小値を求めなさい．