2010　北見工業大学　後期

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(1)　$x$に関する不等式$x^2+\left|x\right|-6<0$の解は$\boxed{\text{(ⅰ)}}<x<\boxed{\text{(ⅱ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{AC}=2\text{，}\mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$とするとき，$\mathrm{BC}=\boxed{\text{(ⅲ)}}\text{，}\mathrm{\angle C}=\boxed{\text{(ⅳ)}}$であり，この三角形の外接円の半径は$\boxed{\text{(ⅴ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(3)　$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とし，$\mathrm{C}$を点$\mathrm{A}(1,0,0)$と点$\mathrm{B}(0,1,\sqrt{3})$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$の内分点とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$がベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と直交しているとき，点$\mathrm{C}$の座標は$\boxed{\text{(ⅵ)}}$である．

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(4)　$\underset{x\to \infty }{\lim }(\sqrt{x^2-3x+2}-x)=\boxed{\text{(ⅶ)}}$

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(5)　${\displaystyle \int }{x}^{2010}\log xdx=\boxed{\text{(ⅷ)}}$

【１】　以下の空白をうめよ．なお，(6)については(a)〜(d)の中から適切なものを選べ．

(6)　$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

　$2$時正方行列$A$に対して，$A\ne O$は$A$が逆行列を持つための$\boxed{\text{(ⅸ)}}$．

(a)　必要十分条件である

(b)　十分条件だが必要条件ではない

(c)　必要条件だが十分条件ではない

(d)　必要条件でも十分条件でもない

【２】(1)　多項式$F(x)$が${(x-a)}^2$で割り切れるための必要十分条件は

$F(a)=0$かつ$F^{\prime }(a)=0$

であることを示せ．

(2)　$f(x)=x^4-t{x}^2+x\text{，}g(x)=mx+n$とし，$G(x)=f(x)-g(x)$とおく．直線$y=g(x)$が曲線$y=f(x)$に$x=a$で接するとき，$G(x)$は${(x-a)}^2$で割り切れることを示せ．

(3)　直線$y=g(x)$が曲線$y=f(x)$に点$(a,f(a))$および点$(b,f(b))$の異なる$2$点において接しているとする．ただし$b<a$とする．このとき$b$および$t$を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)の条件のもとで，直線$y=g(x)$と曲線$y=f(x)$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi & -\sin {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi \\ \sin {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi & \cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi \end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とするとき以下の問いに答えよ．

(1)　$A^5=E$であることを示せ．

(2)　$A-E$が逆行列を持つことを示せ．

(3)　$A^4+A^3+A^2+A+E=O$であることを示せ．

(4)　$A^2+A+E+A^{-1}+A^{-2}=O$であることを示せ（ただし$A^{-2}={(A^{-1})}^2$である）．

(5)　$A+A^{-1}=aE$を満たす実数$a$がひとつだけある．(4)の結果を用いて$a$の満たす$2$次方程式を求め，$a$の値を定めよ．

(6)　(5)の結果を用いて$\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$の値を求めよ．

【４】(1)　${\displaystyle \int }(x+1)e^{-x}dx$を求めよ．

(2)　微分可能な関数$f(x)$が

$e^{x}f(x)=x^2+2x+{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{t}f(t)dt$

を満たすとする．$f(0)$の値を求めよ．

(3)　(2)の関係式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【５】　以下の文を読み，その中にある問１，問２，問３，問４，問５に答えよ．

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　自然数を$6$で割ったときの余りは$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$のどれかになるので，どんな自然数も，その余りに応じて，$6n\text{，}6n+1\text{，}6n+2\text{，}6n+3\text{，}6n+4\text{，}6n+5$という$6$通りの中のどれかの形をしている．ここで$n$は$0$以上の整数を表す．$6n+1$という形の自然数を特に$I‐$型と呼ぶことにしよう．$I‐$型の自然数どうしの積はまた$I‐$型になる．なぜなら，

$(6n_1+1)(6n_2+1)=36n_1{n}_2+6n_1+6n_2+1=6(6n_1{n}_2+n_1+n_2)+1$

となるからである．この積にまた$I‐$型の自然数をかけてもやはり$I‐$型になるので，次の命題が成り立つことがわかる．

　さて，素数というのは，$1$と自分自身以外の約数を持たないような$2$以上の自然数のことである．素数も上の$6$通りのどれかの形をしているわけだが，$6n\text{，}6n+2\text{，}6n+4$はすべて偶数，すなわち$2$を約数として持つので，$3$以上の素数がこの形をしていることはない．また，$6n+3=3(2n+1)$は$3$を約数として持つので，$5$以上の素数がこの形をしていることはない．これらのことから，次の命題が成り立つことがわかる．

　$6n+5$という形の自然数を$V‐$型と呼ぶことにする．

　次の定理を証明しよう．

証明：背理法で証明する．すなわち，$V‐$型の素数が有限個しかないと仮定して，矛盾が生じるということを示す．

　$V‐$型の素数が有限個しかないと仮定して，$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_r$を小さい方から順に並べたすべての$V‐$型の素数とする．例えば，$p_1=5\text{，}{p}_2=11\text{，}{p}_3=17\text{，}{p}_4=23$などである．

　$M=6p_2\cdots p_r+5$という$V‐$型の自然数を考える．すなわち，$p_1=5$以外の$V‐$型の素数すべての積$p_2\cdots p_r$に$6$をかけて，さらにそれに$5$を加えたものが$M$である．この$M$と，$p_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_r$の中の個々の$p_i$とを比較すると，$M$は$p_i$を少なくとも$6$倍以上してから$5$を加えたものなので，どの$p_i$よりも真に大きい．すなわち，$M$はどんな$V‐$型の素数よりも大きい．

　$M$は素数であるか，素数ではないかのどちらかではあるが，$M$は素数ではないことがわかる．

　$M$は素数ではないので，$2$つ以上の素数の積に素因数分解することができる．

　$M=q_1{q}_2\cdots q_k$を$M$の素因数分解とする．すなわち，$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_k$はすべて素数である．

　$M$は$2$の倍数ではない．このことを背理法で示そう．$M$が$2$の倍数であると仮定すると，ある自然数$m$があって$M=2m$となっている．$M=2m=6p_2\cdots p_r+5$なので，$2m-6p_2\cdots p_r=5$となるが，これは$2(m-3p_2\cdots p_r)=5$ということである．左辺は$2$の倍数であるのに対し右辺はそうではないので矛盾である．$M$が$2$の倍数であると仮定して矛盾が生じたので，$M$は$2$の倍数ではないことが示された．同様に，$M$は$3$の倍数ではないことを示すことができる．

　さらに，$p_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_r$はすべて$11$以上の素数なので，$M$は$5$の倍数でもない．

　$M$の素因数の中に$2\text{，}3\text{，}5$は含まれないので，$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_k$はすべて$7$以上の素数である．命題Bから，各$q_i$は$I‐$型であるかまたは$V‐$型であるかのどちらかであるが，実は，各$q_i$はすべて$I‐$型である．このことを背理法で示そう．

　$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_k$の中に$V‐$型の素数$q_i$があったと仮定する．$q_i$は$7$以上の$V‐$型の素数なので$p_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_r$のどれかに一致している．$q_i=p_j$だとすると，$M=q_1{q}_2\cdots q_k$は$11$以上の$V‐$型の素数$p_j$の倍数となり矛盾が生じる．

　$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_k$の中に$V‐$型の素数$q_i$があると仮定して矛盾が生じたので，$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_k$の各$q_i$はすべて$I‐$型であることが示された．

　$q_1\text{，}{q}_2\text{，}\cdots \text{，}{q}_k$はすべて$I‐$型であることが分かったが，そうすると命題Aから矛盾が生じる．以上から定理が証明された．