2010　秋田大学　前期

【１】　$2$次方程式$x^2\sin \theta -x\cos (2\theta )+\sin \theta =0$が重解をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす定数とする．

(ⅰ)　$\sin \theta$の値を求めよ．

(ⅱ)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

(ⅲ)　$\theta$と${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の大小を比較せよ．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right|}^2$を示せ．

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{CD}}\right|$を示せ

(ⅲ)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を示せ

【３】　$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$x\geqq 0$の部分を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$と点$\mathrm{A}(0,a)$の間の距離を$\mathrm{AP}$で表す．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{AP}$を$a$と$y$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，${\mathrm{AP}}^2$を最小にする$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_0$とする．${\mathrm{P}}_0$が原点$\mathrm{O}$と異なるような$a$の範囲を求め，そのときの${\mathrm{P}}_0$の座標を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)の${\mathrm{P}}_0$に対して，$\mathrm{▵O}{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}$の内角$\mathrm{\angle O}{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta =2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

【１】　$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　不定積分${\displaystyle \int }\pi (x+\pi )\sin \pi xdx$を求めよ．

(ⅱ)　右の図のように，曲線$y=\pi (x+\pi )\sin \pi x\text{（}0\leqq x\leqq 2n-1\text{）}$と$x$軸とで囲まれた図形の$x$軸より上側にある部分を，原点側から順に$P_1\text{，}{P}_2\text{，}{P}_3\text{，}\cdots \text{，}{P}_n$と分けるとき，図形$P_k$の面積$S_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$を$k$の式で表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)の$S_k$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$を$n$の式で表せ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2-{(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})}^2}$となることを示せ．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=x\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BO}}=y\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=z$のとき，$S$を$x\text{，}y\text{，}z$の式で表せ．

【３】　$xy$平面上の放物線$C\text{：}y=x^2-3x$と，点$\mathrm{P}(1,-6)$に対して，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$を通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C$と(ⅰ)の直線との接点のうち$x$座標が負のものを$\mathrm{Q}\text{，}$正のものを$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{QR}$上にあり$\mathrm{Q}$と異なる点とする．$\mathrm{S}$の$x$座標を$t$とし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{S}$の$3$点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l\text{，}m\text{，}n$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(ⅱ)の半径が最小となる$t$の値を求めよ．

【１】　$3$次方程式$x^3-2x^2+3x-7=0$の$3$つの解を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするとき，次の式の値を求めよ．

(ⅰ)　${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$

(ⅱ)　${\alpha }^2{\beta }^2+{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2{\alpha }^2$

(ⅲ)　${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$

【２】　$xy$平面上の四角形$\mathrm{OABC}$において，対角線$\mathrm{OB}$を考え，$\mathrm{\angle AOB}$の二等分線と$\mathrm{\angle OAB}$の二等分線の交点を$\mathrm{I}\text{，}\mathrm{\angle BOC}$の二等分線と$\mathrm{\angle OCB}$の二等分線の交点を${\mathrm{I}}^{\prime }$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=a\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=b\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=p$とするとき，これらを用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表せ．

(ⅱ)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}({\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{2}})\text{，}\mathrm{C}(-\sqrt{3},\sqrt{3})$と定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して，とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f_n(x)=x$が異なる$3$つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(\log x)}^n}{x}}=0$であることを用いてもよい．

(ⅱ)　$a_0={\displaystyle {\int }_1^e}{f}_0(x)dx$とし，$a_n={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\displaystyle {\int }_1^e}{f}_n(x)dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)の関係式を用いて，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}$を求めよ．