2010　福島大学　前期

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　自然数$n$に対して，$S(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^{12n+3}}{k}^2\text{，}T(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^{12n+3}}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする．

${\displaystyle {\int }_{-u}^0}t\{{\displaystyle \frac{d}{dt}}f(t+u)\}dt=-e^{-u}\cos u+uf(0)-u+1$

このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して${\displaystyle {\int }_0^u}f(z)dz$を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．

図１

【２】　図１のような$11$段の階段がある．この階段を一足で$1$段上っても$2$段上ってもよい．また，一足で$1$段上ることと一足で$2$段上ることを混ぜて上ってもよい．これらの上り方以外は認められず，連続して$2$段ずつは上れないものとする．次の問いに答えなさい．

(1)　ちょうど$5$段上る上り方は何通りか求めなさい．

(2)　$11$段上る上り方は何通りか求めなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3+2a{x}^2+bx$と直線$l\text{：}y=ax$が$x\geqq 0$で定義されており，原点以外でこれらの曲線$C$と直線$l$が接するものとする．次の問いに答えなさい．なお，$a\ne 0$とする．

(1)　曲線$C$と直線$l$との共有点が二つあることを示し，それらの共有点の座標を求めなさい．また，$a$のとりうる値の範囲を求めなさい．

(2)　曲線$C$と直線$l$で囲まれる面積を$S_1\text{，}$これら二つの共有点と点$(0,-1)$からなる三角形の面積を$S_2$とする．$S_1=S_2$となる$a$の値を求めなさい．