2010　福島大学　後期

【１】　$2$次方程式$x^2-2kx+2(k^2-4k+3)=0$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$が実数で異符号であるような整数$k$の値を求めなさい．

(2)　$2$つの解が$0\leqq x\leqq 2$の範囲にあるとき，整数$k$の値を求めなさい．

(3)　$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．${\alpha }^3+{\beta }^3$を$k$で表しなさい．

【２】　底面の半径が$r\text{，}$高さが$2r$の円柱がある．円柱と底面が同一で，高さ$2r$の円錐があり，円柱に内接する半径$r$の球がある．

(1)　円錐の表面積を求めなさい．

(2)　次の条件を満たす円錐の体積を求めなさい．底面が，球の表面と与えられた円錐の側面の交線で囲まれ，頂点が与えられた円錐の頂点と一致する．

(補足説明）円柱，円錐，球は右図のようになっています

【３】　正三角形$\mathrm{ABC}$は原点$\mathrm{O}$を重心とし，点$\mathrm{A}$の座標は$(\cos 75\mathrm{°},\sin 75\mathrm{°})$である．点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{C}$の座標の値を求めなさい．ただし，頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は左回りの順とする．

【４】　関数$f(x)=|x^2-c|\text{（}c>0\text{）}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)$の極大値，極小値を求めなさい．

(2)　関数$f(x)$のグラフと直線$y=c$とで囲まれた図形の面積$S_1$を求めなさい．

(3)　関数$f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形の面積$S_2$を求めなさい．

【５】　$f(x)={\displaystyle \frac{5^x+5^{-x}}{2}}\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{5^x-5^{-x}}{2}}$のとき，次の問いに答えなさい．

(1)　${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2=1$を示しなさい．

(2)　$f(x)$の最小値を求めなさい．

【１】　次の計算をしなさい．

(1)　$3-(-{\displaystyle \frac{7}{12}}-0.125÷{\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{5}{18}})$

【１】　次の計算をしなさい．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{6}}}3x\sin 3xdx$

【２】　次の方程式または不等式を解きなさい．

(1)　$6x^3+7x^2-9x+2=0$

【２】　次の方程式または不等式を解きなさい．

(2)　${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+3)<-3$

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=2\sqrt{3}\sin \theta -\cos 2\theta \text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$の最大値と最小値を求め，そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　$a_n=3n-2\text{（}n\geqq 1\text{）}$で表される数列$\{a_n\}$がある．このとき，

$a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{157}+a_{159}$

を求めなさい．

【４】　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の位置ベクトルが，それぞれ$\overrightarrow{a}=(2,-1)\text{，}\overrightarrow{b}=(-1,2)$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$3:4$に内分する点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{p}$を求めなさい．

(2)　$xy$平面上の$\mathrm{▵ABC}$の重心$\mathrm{G}$の位置ベクトルが$\overrightarrow{g}=(1,1)$となるとき，点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$を求めなさい．

【５】　$xy$平面上の円$x^2+y^2-18x-6y+81=0$が与えられている．また，点$\mathrm{A}(p,q)$および点$\mathrm{B}(s,t)$がこの円外を動く．

(1)　原点$\mathrm{O}(0,0)$からこの円にひいた接線の方程式を求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$がこの円を内接円として持つ直角三角形となるとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めなさい．ただし，$q<t$とする．

【６】　箱$\mathrm{A}$には白球$2$個と赤球$2$個，箱$\mathrm{B}$には白球$4$個と赤球$1$が入っている．このとき，以下の$\text{①}\text{〜}\text{③}$の手順からなるゲームを行う．

$\text{①}$　$3$個のさいころを同時に投げて，$6$の目が少なくとも$1$個出たら箱$\mathrm{A}$が，それ以外の場合は箱$\mathrm{B}$が渡される．

$\text{②}$　渡された箱から$2$個の球を同時に取り出す．

$\text{③}$　白球$1$個につき$100$点，赤球$1$個につき$50$点がもらえる．

(1)　箱$\mathrm{A}$が渡される確率を求めなさい．

(2)　このゲームを$1$回行ったとき，もらえる点数の期待値を求めなさい．