2010　筑波大学　後期応用理工学類MathJax

【１】　関数$f(x)=x{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{x}}\right)$について$x>0$の範囲で考える．$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$と書くこととして以下の問いに答えなさい．

(1)　$n$を正の整数とするとき，$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)$を求めよ．

(2)　$f^{″}(x)=0$を満たす$x$を，大きいものから順に$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}\cdots$とする．無限級数$a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_3{a}_4+a_4{a}_5+\cdots$の和を計算せよ．

(3)　$x>4$において，$f^{\prime }(x)$の値の範囲を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{4}{1+x^2}}$に対して，図１のような方式で区間$[0,1]$を$n$等分してつくった長方形$\mathrm{ABCE}$の面積の和を$S_n$として，以下の問いに答えよ．

(1)　図２のように区間$[0,1]$を$2$等分するときの面積の和$S_2$を求めよ．

(2)　同様に区間$[0,1]$を$3$等分するときの面積の和$S_3$を求めよ．

(3)　区間$[0,1]$を$n$等分するときの面積の和$S_n$を求めよ．

(4)　区間$[0,1]$を$n$等分したとき，$1$つの区間$[{\displaystyle \frac{k}{n}},{\displaystyle \frac{k+1}{n}}]\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$において，$x$軸と$f(x)$で挟まれる領域の面積を長方形$\mathrm{ABCE}$と台形$\mathrm{ABDE}$で近似することを考える．それらの面積の差${\delta }_k$を求めよ．

(5)　区間$[0,1]$において，${\delta }_k$をすべて加え合わせたときの値を求めよ．

(6)　${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx$を求めよ．

【３】　$2$行$2$列の行列$A\text{，}$平面内の基本ベクトル${\mathit{e}}_1\text{，}{\mathit{e}}_2$が次のように与えられるとする．

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}{\mathit{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}{\mathit{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

このとき，

$A{\mathit{e}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)\text{，}A{\mathit{e}}_2=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$

が成り立つので，平面内の移動を表す行列の要素を決めるには，${\mathit{e}}_1\text{，}{\mathit{e}}_2$がそれぞれどのように移動するかを見ればよい．このことを使って以下の問に答えよ．

(1)　平面内で原点の回りを反時計回りに$60$度回転する移動を表す行列$A_1$を求めよ．

(2)　平面内で直線$y=(1/\sqrt{3})x$に関する対称移動を表す行列$A_2$を求めよ．

(3)　平面内で直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$A_3$を求めよ．

(4)　問(2)で示した移動の後に問(3)で示した移動を合成して行ったとき，その合成移動を表す行列$B$を求めよ．

(5)　問(1)で求めた行列$A_1$と問(4)で求めた行列$B$の関係を示せ．

(6)　平面内で直線$x\sin \theta -y\cos \theta =0$に関する対称移動を表す行列を$C(\theta )$で表す．$C(\theta )$を求めよ．

(7)　最初に対称移動$C(\theta /2)$を行った後，続いて対称移動$C(\theta )$を行ったとき，その合成移動を表す行列$D(\theta )$を求めよ．

(8)　問(7)で求めた行列$D(\theta )$は，どのような移動を表すかを述べよ．