2010　東京農工大学　前期

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間にある，中心$\mathrm{C}(1,1,\sqrt{10})\text{，}$半径$3\sqrt{3}$の球面を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S$と$x$軸の正の部分との交点を$\mathrm{P}$とし，$S$と$y$軸の正の部分との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線と$S$との交点のうち，$z$座標が正であるものを$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ただし答えのみでよい．

(3)　四面体$\mathrm{OPQR}$の体積$V$を求めよ．ただし答えのみでよい．

(4)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を通る球面の半径$r_1$を求めよ．

(5)　四面体$\mathrm{OPQR}$に内接する球面の半径を$r_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}$の値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b$を実数とする．行列

$A=\left(\begin{array}{cc}-5& -3\\ 6& 4\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ a& b\end{array}\right)$

について次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$を満たすように実数$a\text{，}b$を定めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　正の整数$n$について$A^n$を求めよ．

(3)　$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．ただし答えのみでよい．

(4)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$r$の式で表せ．

【３】　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=2\cos t\text{，}y=\sqrt{3}\sin t$

で与えられているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{v}$と速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　$f(t)=-2\cos t+{\displaystyle \frac{d}{dt}}{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2$とおく．$0\leqq t\leqq 2\pi$における$f(t)$の最大値，最小値を求め，そのときの$t$の値を求めよ．

(3)　(2)の関数$f(t)$について定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{f(t)}{{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2}}dt$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に

$|y{e}^{2x}-6e^x-8|=-(e^x-2)(e^x-4)$

で定まる曲線がある．この曲線によって囲まれる図形の面積$K$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．