2010　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　$xy$平面上で，点$\mathrm{A}(-1,3)$と点$\mathrm{B}(2,3)$からの距離の比が$2:1$となるような点$\mathrm{P}$について以下の問いに答えよ．

〔1〕　点$\mathrm{P}$の軌跡を表す方程式を記述し，軌跡を図示せよ．ただし，答えのみでよい．

〔2〕　線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BP}$が直交するときの点$\mathrm{P}$の座標を全て求めよ．ただし，答えのみでよい．

〔3〕　点$\mathrm{A}$を通る直線が点$\mathrm{P}$の軌跡と接するとき，この直線を表す方程式を全て記述せよ．ただし，答えのみでよい．

〔4〕　点$\mathrm{P}$から，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線上に垂線を下ろし，その交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{▵APQ}$の面積$S$が最大となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．ただし，答えを導く過程も記せ．

〔5〕　点$\mathrm{P}$の軌跡で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．ただし，答えを導く過程も記せ．

【１】　次の問〔1〕〜〔2〕に答えなさい．

〔1〕　次の数列の初項から第$n$項までの和を求めなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．

(1)　$3\text{，}{\displaystyle \frac{5}{1^3+2^3}}\text{，}{\displaystyle \frac{7}{1^3+2^3+3^3}}\text{，}{\displaystyle \frac{9}{1^3+2^3+3^3+4^3}}\text{，}\cdots$

ただし，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3={\displaystyle \frac{1}{4}}(n^4+6{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2-4{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}1)$の関係がある．

(2)　$a^{n-1}\text{，}{a}^{n-2}b\text{，}{a}^{n-3}{b}^2\text{，}\cdots$

ただし，$a>0\text{，}b>0$および$a\ne b$である．

【１】　次の問〔1〕〜〔2〕に答えなさい．

〔2〕　$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(a,0)\text{，}y$軸上を動く点$\mathrm{Q}(0,b)$がある．$a>0\text{，}b>0$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$8$である．$\mathrm{PQ}$を$3:5$に内分する点の軌跡の図形を$F$とする．$F$上の点$\mathrm{R}$における接線$l$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{T}(c,0)$とする．接線$l$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき次の問に答えなさい．ただし，答えを導く過程も記述しなさい．また，解答に平方根を含むときは平方根をそのまま記すこと．

(1)　$F$を表す式を求めなさい．

(2)　接線$l$の傾き$k$を$c$で表しなさい．

(3)　面積$S$を$c$の式で表しなさい．また，$S$が最小となる$c$の値を求めなさい．