2010　電気通信大学　後期MathJax

2010-10271-0201

2010　電気通信大学　後期

配点60点

易□　並□　難□

【１】　関数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ を区間 $0 ≦ x ≦ π$ で考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ．

(ⅱ)　 $f (x)$ の増減を調べ， $f (x)$ の最大値および最小値を求めよ．

(ⅲ)　曲線 $y = f (x)$ の変曲点の座標を求めよ．

(ⅳ)　曲線 $y = f (x) ， x$ 軸および直線 $x = π$ で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよ．

(ⅴ)　曲線 $y = f (x) ， x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．

2010-10271-0202

2010　電気通信大学　後期

配点60点

易□　並□　難□

【２】　関数 $f (x) = a e^{- b x}$ （ $a ， b$ は正の定数）を考える．曲線 $y = f (x)$ と円 $x^{2} + y^{2} = 2$ が点 $(1, 1)$ を共有点にもち，その点における $2$ 曲線の接線が一致するとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　定数 $a ， b$ の値を求めよ．

(ⅱ)　定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} d x$ を求めよ．

(ⅲ)　 $2$ 曲線 $y = f (x) ， y = \sqrt{2 - x^{2}}$ および $y$ 軸で囲まれる図形を $A$ とする． $A$ の面積 $S$ を求めよ．

(ⅳ)　全問(ⅲ)の図形 $A$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ．

2010-10271-0203

2010　電気通信大学　後期

配点60点

易□　並□　難□

【３】　 $m$ を $2$ 以上の整数とし， $r = m^{2} + 1$ とおく．原点 $O$ を中心とする半径 $r$ の円の周上にある点で， $y$ 座標が $2 m ， x$ 座標が正の点を $P$ とする．直線 $OP$ と $x$ 軸のなす角を $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ とおくとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $P$ の座標を $m$ を用いて表し， $P$ が格子点であることを示せ．ただし， $x$ と $y$ がともに整数であるとき平面上の点 $(x, y)$ を格子点と呼ぶ．

(ⅱ)　 $\cos θ ， \sin θ$ をそれぞれ $m$ を用いて表せ．

(ⅲ)　 $\cos (α + β) ， \sin (α + β)$ を，それぞれ $\cos α ， \sin α ， \cos β ， \sin β$ を用いて表せ．

(ⅳ)　すべての自然数 $n$ に対して，点 $(r^{n} \cos n θ, r^{n} \sin n θ)$ が格子点であることを，数学的帰納法によって証明せよ．

2010-10271-0204

2010　電気通信大学　後期

配点60点

易□　並□　難□

【４】　 $▵ PCD$ の辺 $PC$ の中点を $A ，$ 辺 $PD$ の中点を $B ， | \vec{AB} | = 1$ とする． $\vec{PA} = \vec{a} ，$ $\vec{PB} = \vec{b} ，$ $| \vec{a} | = α ，$ $| \vec{b} | = β$ として，線分 $AB$ を $α : β$ に内分する点を $Q ，$ 線分 $CB$ を $α : 1$ に内分する点を $R ，$ 直線 $PQ$ と直線 $AR$ の交点を $E$ とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $\vec{PQ}$ を $\vec{a} ， \vec{b} ， α ， β$ を用いて表せ．

(ⅱ)　 $\vec{AR}$ を $\vec{a} ， \vec{b} ， α$ を用いて表せ．

(ⅲ)　 $\vec{PE}$ を $\vec{a} ， \vec{b} ， α ， β$ を用いて表せ．

(ⅳ)　点 $E$ が直線 $CD$ 上にあるとき， $α ， β$ の満たす関係式を求めよ．

(ⅴ)　辺 $AB$ を固定して，点 $P$ が(ⅳ)で求めた関係式を満たしながら動くとき， $▵ PAB$ の面積の最大値 $S$ を求めよ．

2010-10271-0205

2010　電気通信大学　後期

【５】で配点60点

易□　並□　難□

【５】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $F (a) = \int_{0}^{a} \frac{1}{1 + e^{x}} d x$ とおくとき， $F (a)$ を求めよ．さらに，極限値 $I = \lim_{a \to \infty} F (a)$ を求めよ．

2010-10271-0206

2010　電気通信大学　後期

【５】で配点60点

易□　並□　難□

【５】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)

$S_{2 n} = \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{{(- 1)}^{k}}{\sqrt{k + {(- 1)}^{k}} + \sqrt{k}} （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

とおくとき， $S_{2 n}$ を $n$ を用いて表せ．

2010-10271-0207

2010　電気通信大学　後期

【５】で配点60点

易□　並□　難□

【５】　以下の問いに答えよ．

(ⅲ)　次の $3$ つの連立 $1$ 次方程式(a)，(b)，(c)をそれぞれ解け．

(a)　 ${\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 2 x - 4 y = 0 \end{cases}$
(b)　 ${\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 2 x + 4 y = 0 \end{cases}$
(c)　 ${\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 2 x + 4 y = 8 \end{cases}$

2010-10271-0208

2010　電気通信大学　後期

【５】で配点60点

易□　並□　難□

【５】　以下の問いに答えよ．

(ⅳ)　 $A = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix})$ とするとき， $A^{2010}$ を求めよ．

2010-10271-0209

2010　電気通信大学　後期

【５】で配点60点

易□　並□　難□

【５】　以下の問いに答えよ．

(ⅴ)　双曲線 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 2$ 上の点 $(3, \frac{3}{2})$ における接線の方程式を求めよ．

2010 電気通信大学 後期MathJax

2010　電気通信大学　後期MathJax