2010　東京海洋大学　前期海洋科学部

【１】　$3$次関数$f(x)=x^3-3x+2$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=|f(x)|$と直線$y=kx+6$とが異なる$4$点で交わるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　次の不等式$\text{①，}\text{②，}\text{③}$を同時にみたす領域を$A\text{，}$不等式$\text{①．}\text{②，}\text{③，}\text{④}$を同時に満たす領域を$B$とする．

$\begin{array}{ll}y\leqq -4x^2+24x-20& \cdots \text{①}\\ y\geqq 0& \cdots \text{②}\\ y\leqq -x^2+16& \cdots \text{③}\\ a\leqq x\leqq a+1& \cdots \text{④}\end{array}$

ただし，$0<a<4$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　領域$A$の面積を求めよ．

(2)　領域$B$の面積が最大になるときの$a$の値を求めよ．

【３】　連立不等式$x+y\leqq 3\text{，}x+y\geqq -1\text{，}y\leqq 3x+3\text{，}y\geqq 3x-1$の表す領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x-y$の最大値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$y-{(x-1)}^2$の最大値を求めよ．

【４】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$となるための条件を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PR}}\perp \overrightarrow{\mathrm{QS}}$かつ$\left|\overrightarrow{a}\right|=1$のとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$のとりうる値の範囲を求めよ．

【５】　$n$を$5$以上の自然数とする．箱の中に，$1$から$n$までの自然数を$1$つずつ書いた$n$枚のカードがある．このとき，次の問に答えよ．

(1)　箱から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$2$枚のカードの数の和が$6$である確率を$n$で表せ．

(2)　箱から$3$枚のカードを同時に取り出すとき，取り出した$3$枚のカードの数の最大値を$M$とする．このとき，$M\leqq 5$である確率を$n$で表せ．

(3)　最大値$M$の期待値を$n$で表せ．