2010　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　座標平面上の$2$直線$l\text{：}x\sin \theta -y\cos \theta =0$（ただし$0\mathrm{°}\leqq \theta <180\mathrm{°}$），$m\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$を考える．$l\text{，}m$に関する対称移動をそれぞれ$f\text{，}g$とする．

(1)　対称移動$f$を表す行列を求めよ．

(2)　移動の合成$f\circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．

(3)　移動の合成$f\circ g$を表す行列と$g\circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

【２】　$1$から順に自然数$n$を$2n$個ずつ並べた数列

$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,\cdots ,\underset{\underset{2n\text{個}}{⏟}}{n,n,\cdots ,n},\cdots$

を考える．

(1)　第$200$項を求めよ．

(2)　初項から第$200$項までの和を求めよ．

(3)　初項から第$k$項までの和が$5555$以上になるような最小の$k$を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-x^2$と放物線$D\text{：}y=3x^2+px+q$が共有点$(a,a^3-a^2)$で共通の接線を持つとする．

(1)　$C$と$D$のすべての共有点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$D$は$x$軸と共有点を持つことを示せ．また，$D$と$x$軸が接するような$a$の値を求めよ．

(3)　$0<a<1$のとき，$x$軸と$D$で囲まれた図形のうち$x\leqq a$の部分の面積を求めよ．

【４-Ⅰ】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C\text{：}y=x|x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$l\text{：}y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha ,m\alpha )\text{，}\mathrm{Q}(\beta ,m\beta )$で交わっている．ただし$0<\alpha <\beta$とする．

(1)　$m$の範囲を$k$で表せ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．

(3)　$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．

(4)　(3)のとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

【４-Ⅱ】(1)　$x>0$で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x}}$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$で囲まれた図形の面積を求めよ．