2010　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　$xy$平面上の原点を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,Y)$を

$X=-2{(2x^2-1)}^2+1$

$Y=4xy(1-2y^2)$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$は$C$上にあることを示せ．

(2)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　コインを$2$枚投げて表が出た枚数を$m$とする．再びコインを$2$枚投げて表が出た枚数を$n$とする．原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上の点

$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{m+1}{\sqrt{{(m+1)}^2+{(n+1)}^2}}},{\displaystyle \frac{n+1}{\sqrt{{(m+1)}^2+{(n+1)}^2}}})$

を通り，直線$\mathrm{OA}$と直交する直線を$l$とする．$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{P}\text{，}l$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$L$を$m\text{，}n$を用いて表せ．

(2)　$L\geqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$となる確率を求めよ．

(3)　$L$の期待値を求めよ．

【３】　$xy$平面上に曲線$C_1:y=x^3-3x$がある．$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,t^3-3t)$における$C_1$の接線を$l_1$とする．曲線$C_2:y=x^2+ax+b$が$\mathrm{P}$において$l_1$と接するように$a\text{，}b$を定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$を通り$l_1$と直交する直線を$l_2$とする．$C_2$と$l_2$で囲まれる部分の面積を$t$を用いて表せ．ただし，$t\ne \pm 1$とする．

(3)　(2)で求めた面積が最小となるような$t$の値を求めよ．

【４】　正の整数$p\text{，}q$に対して，$S=2^p{3}^q$とする．次の条件(＊)をみたす正の整数の組$(a,n)$の個数を$f(p,q)$とする．

(＊)　$\{\begin{array}{l}\text{(ⅰ)}n\geqq 2\\ \text{(ⅱ) 初項}a\text{，公差}2\text{，項数}n\text{の等差数列の和が}S\text{に等しい}\end{array}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$S$の約数の個数が奇数であるための必要十分条件は，$p$および$q$がともに偶数であることを示せ．

(2)　$(a,n)$が(＊)をみたすとき，$n$は$S$の約数であることを示せ．

(3)　$f(p,q)$を求めよ．

【１】　関数$f(x)=e^{\frac{1}{x^2-1}}\text{（}-1<x<1\text{）}$について，関数の増減，グラフの凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

【２】　$\theta$を実数とする．実数$x$に対して，行列$P(x)$を

$P(x)=\left(\begin{array}{cc}\sin (x+\theta )& \cos (x+\theta )\\ \sin x& \cos x\end{array}\right)$

とおく．$2$次の正方行列$A$は，ある実数$y$に対して，

$AP(y)=P(y+\theta )$

をみたしている．次の問いに答えよ．

(1)　$0<\theta <\pi$のとき，$A$を$\theta$で表せ．

(2)　$n$を$3$以上の自然数とする．$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$のとき，

$A^n=E$

および，

$E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=O$

を示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列とする．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$0\leqq x\leqq 1$で定義された関数とする．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\{f({\displaystyle \frac{k-1}{n}})-f({\displaystyle \frac{k}{n}}\left)\right\}={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f\left({\displaystyle \frac{k-1}{n}}\right)-nf(1)$

が成り立つことを示せ．

(2)　極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\log \left({\displaystyle \frac{n^2+{(k-1)}^2}{n^2+k^2}}\right)$

を求めよ．

【５】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$\{\begin{array}{ll}{a}_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\\ b_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，

${\displaystyle \frac{1}{n^k}}{}_{n}C_k\leqq {\displaystyle \frac{1}{k!}}\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

を示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$a_n\leqq b_n$を示せ．

(3)　$n$を$2$以上の自然数とする．$2\leqq k\leqq n$である自然数$k$に対して，

$1-(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})(1-{\displaystyle \frac{2}{n}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{k-1}{n}})\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\{1+2+\cdots +(k-1)\}$

を示せ．

(4)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$b_n-a_n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2n}}$を示せ．ただし，$k!\geqq 2^{k-1}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を証明なしに用いてよい．