2010　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　平面上の点${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

${\mathrm{P}}_1(0,0)\text{，}{\mathrm{Q}}_1(0,1)$とする．

${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n$が定められているとして，${\mathrm{Q}}_n$を中心に${\mathrm{P}}_n$を時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$回転させた点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．さらに，${\mathrm{P}}_{n+1}$を中心に${\mathrm{Q}}_n$を反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$回転させた点と${\mathrm{P}}_{n+1}$の中点を${\mathrm{Q}}_{n+1}$とする．

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$の座標を求めなさい．

(2)　すべての${\mathrm{P}}_n$を通る直線の方程式を求めなさい．

(3)　線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の長さを$n$の式で表しなさい．

(4)　${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．

(5)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めなさい．

【２】　関数$f(x)=(ax+b)e^{-3x}$について以下の問いに答えなさい．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を$f^{\prime }(x)=(cx+d)e^{-3x}$と表すとき，$\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$となる$2\times 2$行列$A$を求めなさい．

(2)　前問の行列$A$の逆行列を求めなさい．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }x{e}^{-3x}dx$を求めなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$について以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,e^{-\frac{1}{2}{t}^2})$における接線の方程式を求めなさい．

(2)　(1)の接線と$x$軸，$y$軸および直線$x=t$で囲まれる台形の面積を$S(t)$とする．$t>0$の範囲で$t$が動くとき，$S(t)$の最大値を与える$t$とその最大値を求めなさい．