2010　金沢大学　後期理工学域数物科学類MathJax

【１】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,-1)\text{，}\mathrm{B}(4,5)\text{，}\mathrm{C}(2,7)$がある．次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．また，直線$\mathrm{AB}$に垂直な単位ベクトルを$1$つ求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{C}$を中心とする半径$2$の円周上を点$\mathrm{P}$が動くとき，$▵\mathrm{ABP}$の面積の最小値を求めよ．また，その最小値を与える$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　正の数からなる数列$\{a_n\}$を次のように定める．

(ⅰ)　$a_1=9$

(ⅱ)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，放物線$C_n\text{：}y=x^2+{\displaystyle \frac{1-{a_n}^2}{4}}$と直線$y=x$との交点のうち，$x$座標の大きい方を${\mathrm{P}}_n$とし，${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項と極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(3)　直線$y=-x$と放物線$C_n$の交点のうち，$x$座標の大きい方を${\mathrm{Q}}_n$とする．直線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$に平行で$C_n$に接する直線を$l_n$とするとき，$y$軸と$C_n$および$l_n$で囲まれた部分の面積$S_n$を$a_n$を用いて表せ．また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　座標平面上で

$x=\sqrt{2}\sin t\text{，}y=\sin t\cos t(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

で定まる点$\mathrm{P}(x,y)$が描く曲線を$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v}=({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の大きさが最小となるときの$t$の値を$t_0$とし，そのときの$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_0$とする．$t_0$の値および${\mathrm{P}}_0$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$の方程式を$y=f(x)$の形に表せ．また，区間$0<x<\sqrt{2}$で$f^{″}(x)<0$であることを示し，$C$の概形を描け．

(3)　曲線$y=f(x)\text{（}0\leqq x\leqq \sqrt{2}\sin t_0\text{）}$と$x$軸および直線$x=\sqrt{2}\sin t_0$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，$t_0$は(1)で求めたものとする．

【４】　$M\text{，}N$は$2$以上の自然数とする．高さ$2M\text{，}$幅$2N$の長方形$R$に次の$2$通りの方法で半径$1$の円を詰め込んでいく．

方法$\mathrm{A}$（図１を参照）

(ⅰ)　$1$段目は$N$個の円を底に置く．

(ⅱ)　次の段はすぐ下の段の円の上にくるように$N$個の円を詰める．

(ⅲ)　長方形$R$に詰め込めなくなるまで(ⅱ)を繰り返す．その結果詰め込まれた円の総数を$V_{\mathrm{A}}(M,N)$とおく．

方法$\mathrm{B}$（図２を参照）

(ⅰ)　$1$段目は$N$個の円を底に置く．

(ⅱ)　偶数段目はすぐ下の段の円のすき間にはさまれるように$N-1$個の円を詰める．

(ⅲ)　$3$以上の奇数段目は，すぐ下の段の円のすき間および右端と左端にはさまれるように$N$個の円を詰める．

(ⅳ)　長方形$R$に詰め込めなくなるまで(ⅱ)，(ⅲ)を繰り返す．その結果詰め込まれた円の総数を$V_{\mathrm{B}}(M,N)$とおく．

方法$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で円を詰め込んだとき，底から$m$段目の円の最上部までの高さをそれぞれ$h_{\mathrm{A}}(m)\text{，}{h}_{\mathrm{B}}(m)$とおく．次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{3}=1.73$とする．

(1)　$h_{\mathrm{B}}(m)$を求めよ．

(2)　$h_{\mathrm{B}}(m+1)<h_{\mathrm{A}}(m)$を満たす$m$が存在するとき，その最小値$m_0$を求めよ．

(3)　$m_0$は(2)で求めたものとする．$V_{\mathrm{A}}(m_0,N)<{\mathrm{V}}_{\mathrm{B}}(m_0,N)$を満たす最小の$N$を求めよ．

(4)　$m_0$は(2)で求めたものとする．$V_{\mathrm{A}}(M,N)<V_{\mathrm{B}}(M,N)$が$m_0$以上のすべての$M$に対して成り立つような$N$の条件を求めよ．