2010　福井大学　前期

【１】　座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,0)\text{，}\mathrm{B}(4,4)\text{，}\mathrm{C}(0,4)$をとり，正方形$\mathrm{OABC}$を考える．点$\mathrm{B}$を出発点とする$2$つの動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が，次の規則に従って動くものとする．

この試行を$4$回繰り返し，その結果できる三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を得点とするゲームを行う．以下の問いに答えよ．

(1)　ゲーム終了時に，点$\mathrm{P}$の座標が$(4,1)$である確率を求めよ．

(2)　このゲームの得点が$8$となる確率を求めよ．

(3)　このゲームの得点の期待値を求めよ．

【２】　平面上に$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$である鋭角二等辺三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とし，$k=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$とおく．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{M}$から辺$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{N}$とする．さらに，線分$\mathrm{AM}$と線分$\mathrm{BN}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=s\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=t\overrightarrow{a}$を満たす実数$s\text{，}t$を$k$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$k$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{BN}$を$4:3$に内分するとき，$\mathrm{▵OAB}$は正三角形であることを示せ．

【３】　$k$を正の整数とし，$a_1=k\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して，$a_{n+1}-a_n$は$15$で割り切れることを示せ．

(2)　$a_{2010}$が$15$の倍数となる最小の$k$を求めよ．

【４A】　曲線$C\text{：}y=e^x$上の点$\mathrm{P}(t,e^t)$における接線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\mathrm{Q}$を通り$l$に直交する直線と$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵PQR}$の外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．

(3)　$t$を(2)で定めた値とするとき，直線$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{QR}$と$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【４B】　$k$を定数とし，$x$の関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=x^2+4x+k\text{，}g(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t)dt$

によって定める．$g(x)$が$x=2$で極値を持つとき，以下の問いに答えよ．

(1)　定数$k$の値を求めよ．

(2)　$g(x)$の極値をすべて求めよ．

(3)　$a$を正の実数とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線$l$と，曲線$y=g(x)$上の点$(a,g(a))$における接線$m$が平行になるとき，$a$の値と接線$l\text{，}m$の方程式をそれぞれ求めよ．

【２】　表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，$\stackrel{\text{こま}}{\text{駒}}$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルール a)　駒はゲームを始めるとき，点$\mathrm{A}$にいる．

ルール b)　駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．

ルール c)　$k$回目のコイン投げの結果，駒が点$\mathrm{A}$にいるときは$2^k$ポイント新たに獲得し，点$\mathrm{B}$にいるときは$1$ポイント新たに獲得する．（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）

　$n$を自然数とし，$n$回コインを投げた結果，駒が点$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．さらに，$a_{n+1}$を$a_n$と$p$を用いて表せ．

(2)　$a_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

(3)　$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$p={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{E}_k$を求めよ．

【３】　$k$は実数で，$k>1$とする．このとき，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの曲線

$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1\text{，}{C}_2\text{：}y=k{x}^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

は，$x$座標が正となる$2$つの交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を持つ．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とおく．${\alpha }^2+{\beta }^2$および${\alpha }^2{\beta }^2$を$k$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle AOB}=150\mathrm{°}$のとき，$k$の値を求めよ．

【４】　$k$を実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C\text{：}y=\log x-k$について，$C$の接線のうち$\mathrm{O}$を通るものを$l_1$とし，その接点を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$における$C$の法線を$l_2$とし，$l_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．

(3)　$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$l_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　空間内に$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}C$があり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}\mathrm{OC}=1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=4\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=1$が成り立っている．$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OB}$にそれぞれ垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が同一平面上にない場合，四面体$\mathrm{OABC}$の体積が最大になるときの$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．

【２】　表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$1-p$のコインがある．このコインを投げ，その結果により，$\stackrel{\text{こま}}{\text{駒}}$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の間を移動し，ポイントを獲得することを繰り返す次のようなゲームを行う．

ルール a)　駒はゲームを始めるとき，点$\mathrm{A}$にいる．

ルール b)　駒はコイン投げで表が出ればそのときいる点にとどまり，裏が出ればもう一方の点に移動する．

ルール c)　$k$回目のコイン投げの結果，駒が点$\mathrm{A}$にいるときは$3k$ポイント新たに獲得し，点$\mathrm{B}$にいるときは$k$ポイント新たに獲得する．（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）

　$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)　$n$回コインを投げた結果，駒が点$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n$とおく．$a_n$を求めよ．

(2)　$k$回目のコイン投げの結果により新たに獲得するポイントの期待値を$E_k$とおく．$0<p<1$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{E}_k$を$n$と$p$を用いて表せ．

(3)　(1)で求めた$a_n$を$p$の関数と考え，$f_n(p)$と書くとき，次の極限値を求めよ．

$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{m}}{\displaystyle \sum _{k=1}^m}{f}_n\left({\displaystyle \frac{k}{2m}}\right)$

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上，長方形$\mathrm{ABCD}$が図のように頂点$\mathrm{A}$は$y$軸の正の部分に，頂点$\mathrm{B}$は$x$軸の正の部分に，頂点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$は第$1$象限内におかれている．$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=1$とし$\mathrm{\angle OAB}=t$とおく．ただし，$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　長方形$\mathrm{ABCD}$の周で$y\leqq 1$にある部分の長さを$f(t)$とおく．$f(t)$を求めよ．

(2)　$f(t)=3$が成り立つときの$\cos t\text{，}\sin t$の値を求めよ．

(3)　$t$が$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，$f(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【４】　$p$を$0$でない実数とし，行列$A\text{，}B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．

$A=\left(\begin{array}{cc}p-{\displaystyle \frac{1}{p}}& 1\\ 2& -p\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{p}}& -1\end{array}\right)$

(1)　等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a\text{，}b$を$p$で表せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(2)　$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式

$E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m}){(E+C)}^{-1}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す$1$次変換により点$(2,3)$が点$(x_n,y_n)$に移されるとする．$x_n$および${\displaystyle \frac{y_n}{x_n}}$を求めよ．