2010　信州大学　前期　経済，理，医学部MathJax

【１】　円$x^2+y^2=1$をある直線$l$に関して折り返すと，点$(2,0)$で$x$軸に接する．このとき，直線$l$の方程式を求めよ．

【２】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出れば$\mathrm{P}$は正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出れば$\mathrm{P}$は負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて$4$回投げるとき，次の確率を求めよ．

(1)　少なくとも$2$回は$2$の目が出て，最後に$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率

(2)　最後に$\mathrm{P}$の座標が$2$になる確率

【３】　関数$y=2\sin 3x+\cos 2x-2\sin x+a$の最小値の絶対値が，最大値と一致するように，定数$a$の値を定めよ．

【４】　$0<p<4$とし，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$上の点$(p,{\displaystyle \frac{1}{4}}{p}^2)$を中心にして，半径が${\displaystyle \frac{1}{4}}{p}^2$の円$C$をかく．次に，$m>0$とし，直線$y=mx$が円$C$に接しているとする．

(1)　$m$を$p$の式で表せ．

(2)　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$と直線$y=mx$によって囲まれる図形の面積が${\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$m$と$p$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}\perp \mathrm{BC}$かつ$\mathrm{OB}\perp \mathrm{CA}$ならば，$\mathrm{OC}\perp \mathrm{AB}$となることを証明せよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^3{e}^{x^2}dx$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{n}{4n^2-k^2}}$を求めよ．

【６】　関数$y={\displaystyle \frac{\cos x}{e^x}}\text{（}x>0\text{）}$の極大値を，大きい方から順に

$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots$

とする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$の和を求めよ．

【７】　座標平面に，一直線上にない$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(a,b)\text{，}\mathrm{Q}(c,d)$がある．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は，行列$\left(\begin{array}{cc}1& m-1\\ m& 1\end{array}\right)$によってそれぞれ点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$に移され，$3$点$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$も一直線上にないとする．

(1)　$▵\mathrm{OPQ}$の面積$S$が$S={\displaystyle \frac{1}{2}}|ad-bc|$で与えられることを証明せよ．

(2)　$▵\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積が$▵\mathrm{OPQ}$の面積より大きくなるような定数$m$の範囲を求めよ．