2010　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　

(1)　$2$次方程式$x^2+(2a-1)x+a^2-3a-4=0$が少なくとも$1$つの正の解をもつような実数の定数$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　

(2)　不等式$|2\sin (x+y)|\geqq 1$の表す点$(x,y)$の領域を，$0\leqq x\leqq \pi \text{，}0\leqq y\leqq \pi$の範囲で図示せよ．

【１】　

(3)　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(2,5)\text{，}\mathrm{B}(1,3)\text{，}{\mathrm{P}}_1(5,1)$をとる．まず，点${\mathrm{P}}_1$と点$\mathrm{A}$の中点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$点${\mathrm{Q}}_1$と点$\mathrm{B}$の中点を${\mathrm{P}}_2$とする．次に，点${\mathrm{P}}_2$と点$\mathrm{A}$の中点を${\mathrm{Q}}_2\text{，}$点${\mathrm{Q}}_2$と点$\mathrm{B}$の中点を${\mathrm{P}}_3$とする．以下同様に繰り返し，点${\mathrm{P}}_n$と点$\mathrm{A}$の中点を${\mathrm{Q}}_n\text{，}$点${\mathrm{Q}}_n$と点$\mathrm{B}$の中点を${\mathrm{P}}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$a_n$とするとき，$a_n$を$n$の式で表し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　$10$個の文字$a\text{，}a\text{，}a\text{，}b\text{，}b\text{，}c\text{，}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f$から$4$個の文字を選び，$1$列に並べて文字列を作成する．

(1)　同じ文字を$3$個含む文字列の総数を求めよ．

(2)　文字がすべて異なる文字列の総数を求めよ．

(3)　作成可能な文字列の総数を求めよ．

【３】　方程式$y={(\sqrt{x}-\sqrt{2})}^2$が定める曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$y=2$で囲まれた図形を，直線$y=2$のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin \pi x& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}\\ 0& \text{（}x<0\text{，}x>1\text{）}\end{array}$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$g(t)={\displaystyle {\int }_0^1}f({\displaystyle \frac{t}{3}}-x)dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分${\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(t)dt$を求めよ．