2010　信州大学　後期　理学部数IAIIBMathJax

【１】　$3$辺の長さが$a\text{，}b\text{，}c$である三角形の面積を$S$とする．

(1)　次の等式を証明せよ．

$4S=\sqrt{2(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

(2)　$a^2+b^2+c^2=4\sqrt{3}S$であるとき，

$a^4+b^4+c^4=a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2$

となることを証明せよ．

(3)　$a^2+b^2+c^2=4\sqrt{3}S$であることは，この三角形が正三角形になるための必要十分条件であることを証明せよ．

【２】　$a\ne 0$または$b\ne 0$とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}3x+2y\geqq 0\\ x-2y+8\geqq 0\\ ax+by-2b\geqq 0\end{array}$

の表す領域が三角形になるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，その条件が表す領域を$ab$平面に図示せよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{12}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{1+6(n+1)(n+2)a_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　一般項$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表せ．

【４】　放物線$y=-x^2+ax+b$は，直線$y=x+1$に接し，かつ放物線$y=x^2$と異なる$2$点で交わる．この$2$つの放物線で囲まれる図形の面積を最大にする$a\text{，}b$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．