2010　静岡大学　前期MathJax

【１】　$k$を定数とする．$2$次方程式$x^2+(3k-2)x+4k=0$が$2$つの実数解$\alpha \text{，}\beta$をもち，$\alpha \text{，}\beta$は$0<\alpha <1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　${(\beta -\alpha )}^2$を$k$を用いて表せ．

(3)　$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha \text{，}\beta$の値を定めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$があり，四角形$\mathrm{ABDE}$が円$O$に内接している．$\mathrm{AE}=\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{AB}={\displaystyle \frac{42}{5}}\text{，}\mathrm{AC}=14\text{，}\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{6}{5}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(2)　円$O$の半径を求めよ．

【３】　$a>0$とする．放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2$上の点$\mathrm{P}(1,{\displaystyle \frac{a}{2}})$を通り，$\mathrm{P}$を通る接線に直交する直線を$l\text{，}x$軸と$l$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}\text{，}y$軸および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を最小にする$a$の値を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{PQ}\text{，}y$軸，直線$x=-1$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2=2S_1$となる$a$の値を求めよ．

【４】　$xy$平面上で，点$\mathrm{A}(-1,0)$を中心とする円$C_1$と点$\mathrm{B}(1,0)$を中心とする円$C_2$が原点$\mathrm{O}$で外接している．点$\mathrm{P}$は円$C_1$上を，点$\mathrm{Q}$は円$C_2$上を，それぞれ正の向きに回転する．今，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が同時に原点を出発して，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$の$2$倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle OAP}=\theta$とするとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は次の性質を満たすものとする．

(ⅰ)　$a_1=3\text{，}{b}_1=2$

(ⅱ)　$a_{n+1}=6a_n-b_n\text{，}{b}_{n+1}=2a_n+3b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c_n=-a_n+b_n\text{，}{d}_n=2a_n-b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定められる数列$\{c_n\}\text{，}\{d_n\}$が満たす漸化式を求めよ．

(2)　(1)で定めた$c_n\text{，}{d}_n$を求めよ．

(3)　$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

【４】　連立不等式

$x^2+y^2\leqq 1\text{，}x\geqq 0\text{，}y\geqq 0$

の表す領域を$D\text{，}$原点を通る傾き$\tan \theta (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の直線を$l$とする．$D$を$l$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <0$のとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$V$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x+x^2\log x>0$が成り立つことを示せ．

(2)　関数$y=-x^2\log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

【３】　$xyz$座標空間に，右図のように一辺の長さ$1$の立方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$がある．この立方体を$xy$平面上の直線$y=-x$のまわりに，頂点$\mathrm{F}$が$z$軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　回転後の頂点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　回転後の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{G}$で定まるベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$の成分を求めよ．