2010　静岡大学　後期MathJax

【１】　$k$を定数とする．曲線$C\text{：}y=\cos x(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と直線$l\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+k$が接しているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$の値を求めよ．

(2)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【２】　曲線$C_1$を$y=1-x^2$で定める．放物線$C\text{：}y=x^2+ax+b$が曲線$C_1$とただ一つの共有点をもつように動くとき，$C$の頂点の軌跡を曲線$C_2$とする．次に$C$が$C_2$とただ一つの共有点をもつように動くとき，$C$の頂点の軌跡を曲線$C_3$とする．以下同様にして曲線$C_4\text{，}{C}_5\text{，}\cdots \text{，}{C}_n\text{，}\cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_2$を表す式を求めよ．

(2)　曲線$C_n$を表す式を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$C_n\text{，}{C}_{n+1}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$として，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】　$A$を$2$次の正方行列とし，$E$を$2$次の単位行列とする．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$E-A$が逆行列をもつとき，

$E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}={(E-A)}^{-1}(E-A^n)$

が成り立つことを示せ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{8}}\end{array}\right)$とする．$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とおくとき，

$0<a_n<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\text{，}0<b_n<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\text{，}0<c_n<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}\text{，}0<d_n<{\displaystyle \frac{1}{2^n}}$

が成り立つことを示せ．

(3)　(2)の行列$A$について，$E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$とおくとき，数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}\text{，}\{r_n\}\text{，}\{s_n\}$の極限を求めよ．

【３】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}(x,y)$に対して，点$\mathrm{Q}$を次の条件を満たす平面上の点とする．

(ⅰ)　$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{O}$を始点とする半直線$\mathrm{OP}$上にある．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの積は$1$である．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$x\text{，}y$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=2$上の原点以外の点を動くときの$\mathrm{Q}$の軌跡を求め，平面上に図示せよ．

(3)　$\mathrm{P}$が円${(x-1)}^2+{(y-1)}^2=4$上を動くときの$\mathrm{Q}$の軌跡を求め，平面上に図示せよ．

【４】　曲線$C_1$を$y=1-x^2$で定める．放物線$C\text{：}y=x^2+ax+b$が曲線$C_1$とただ一つの共有点をもつように動くとき，$C$の頂点の軌跡を曲線$C_2$とする．次に$C$が$C_2$とただ一つの共有点をもつように動くとき，$C$の頂点の軌跡を曲線$C_3$とする．以下同様にして曲線$C_4\text{，}{C}_5\text{，}\cdots \text{，}{C}_n\text{，}\cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_2$を表す式を求めよ．

(2)　曲線$C_n$を表す式を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$C_n\text{，}{C}_{n+1}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$として，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(4)　$2$つの曲線$C_n\text{，}{C}_{n+1}$および$x$軸で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V_n$を求めよ．

【５】　$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos 2\alpha \text{，}\cos 3\alpha$を求めよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，

$\cos (n\alpha )={\displaystyle \frac{m}{3^m}}$（ただし，$m$は$3$で割り切れない整数）

と表せることを示せ．

(3)　$k\alpha =l\pi$となる自然数$k\text{，}$整数$l$の組が存在しないことを示せ．

【２】　正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{PB}$におろした垂線と$\mathrm{PB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PQ}:\mathrm{QB}$を求めよ．