2010　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$は次の条件を満たす．

(ⅰ)　$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=1$

(ⅱ)　$\mathrm{BD}=1\text{，}\angle \mathrm{ABD}=90°$

線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3$等分して，点$\mathrm{A}$に近い分点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{B}$に近い分点を$\mathrm{N}$とする．$\angle \mathrm{CAB}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{MDN}=\beta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分の長さの比の値${\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{DE}}}$を求めよ．

(2)　$\tan \beta$の値を求めよ．

(3)　$\alpha$と$\beta$の大小を判定せよ．

【２】　定数$a\text{，}$関数$f(x)\text{，}$および数列$\{x_n\}$を次のように定める．

$1<a<2\text{，}f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(3x^2-x^3)$

$x_1=a\text{，}{x}_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　関数$f(x)$の増減を調べよ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$1<x_n<2$を示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$x_{n+1}>x_n$を示せ．

(4)　次の不等式を満たす$n$に無関係な定数$b\text{（}0<b<1\text{）}$があることを示せ．

$2-x_{n+1}\leqq b(2-x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(5)　数列$\{x_n\}$が収束することを示し，その極限値を求めよ．

【３】　実数$k$を$0<k<2$とし，$2$曲線

$C_1:y=\sin 2x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

$C_2:y=k\cos x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

を考える．$C_1$と$C_2$および$2$直線$x=0\text{，}x=\pi$で囲まれた$4$つの部分の面積の和を$S(k)$とする．

(1)　$S(k)$を求めよ．

(2)　$S(k)$の最小値とそのときの$k$を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x\sqrt{x}}}\text{（}x>1\text{）}$に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底$e$の値は$2<e<3$であることを用いてよい．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における法線$l$の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とする．(2)で求めた法線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の距離の最大値を求めよ．