2010　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　一辺の長さが$2s$である正三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの頂点を$\mathrm{A}(-s,0)\text{，}\mathrm{B}(s,0)\text{，}\mathrm{C}(0,\sqrt{3}s)$とする．${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2+{\mathrm{CP}}^2=t$であるような点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．

問１　このような点$\mathrm{P}$が存在するための$s\text{，}t$についての必要十分条件と，この条件の下での点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$の軌跡が頂点$\mathrm{A}$を通る場合の$s$と$t$の関係式を求めよ．またこのときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$\mathrm{▵ABC}$とともに図示せよ．

>

【２】　$x$が$1\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．

問１　図のような，底面の半径が$\sqrt{x}\text{，}$高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$を求めよ．

問２　${\left({\displaystyle \frac{S}{\pi }}\right)}^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【３】問１　座標空間内の点$\mathrm{A}(0,1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,-1,0)$に対して，$\mathrm{ABCD}$が正四面体となるような$xy$平面の$x>0$の部分にある点$\mathrm{C}$と空間内の$z>0$の部分にある点$\mathrm{D}$の座標をそれぞれ求めよ．

問２　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{E}$とする．線分$\mathrm{DE}$を$3:1$に内分する点$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

問３　$\mathrm{\angle AGD}=\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．

問４　$\mathrm{▵AGD}$の面積を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$と直線$l\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$を考える．

問１　曲線$C$と直線$l$との交点の座標を求めよ．

問２　曲線$C$と直線$l$および$y$軸によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

問３　曲線$C$と直線$l$および$y$軸によって囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$W$を求めよ．

【５】　直線$y={\displaystyle \frac{5-x}{4}}$上の点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{5-p}{4}})\text{（}p>1\text{）}$から曲線$C\text{：}y=1-x^2$へ$2$本の接線$l_1\text{，}{l}_2$を引くことができる．

問１　$l_1$と$C$との接点を$\mathrm{A}\text{，}{l}_2$と$C$との接点を$\mathrm{B}$とし，それぞれの$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\beta -\alpha$を$p$の式で表せ．

問２　$\mathrm{\angle APB}=\theta$とする．$\tan \theta$を$p$の式で表せ．ただし$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

問３　点$\mathrm{P}$が$p>1$の範囲を動くとき，$\theta$が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【６】問１　曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(1,0)$における接線$l_1$の方程式を求めよ．

問２　曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{B}(2,\log 2)$における接線$l_2$の方程式を求めよ．

問３　$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$とおく．曲線$y=f(x)$は$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通りさらにこの$2$点での接線がそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$と一致する．このときの$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

問４　問３で求めた$f(x)$に対して$g(x)=f(x)-\log x$とおく．関数$y=g(x)\text{（}1\leqq x\leqq 2\text{）}$の最大値を与える$x$の値を求めよ．ただし$0.69<\log 2<0.70$であることを用いてよい．

【７】　$2$次の正方行列$A\text{，}B$に対して，次の命題が真か偽かを答えよ．さらに，真ならば証明をし，偽ならば反例をあげよ．

問１　$A\text{，}B$がともに逆行列を持つならば，和$A+B$も逆行列を持つ．

問２　行列の和$A+B$が逆行列を持つならば，$A\text{，}B$はともに逆行列を持つ．

問３　$A\text{，}B$がともに逆行列を持つならば，積$ABA$も逆行列を持つ．

問４　行列の積$ABA$が逆行列を持つならば，$A\text{，}B$はともに逆行列を持つ．

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻・教育科学専攻（数学）　【３】，【４】，【５】，【６】，【７】必答

理科選修，理科専攻，自然科学コース，教育科学専攻（理科）　【１】，【２】，【３】必答

技術専攻・情報科学コース，教育科学専攻（技術）　【１】，【２】必答，【３】，【４】から１題選択