2010　愛知教育大学　後期MathJax

【１】　直線$l\text{：}y=ax-3a+4$と円$C\text{：}{x}^2+y^2-2x-2y=0$を考える．

問１　直線$l$は$a$の値に関係なく定点$\mathrm{P}$を通る．この点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問２　直線$l$と円$C$の共有点の個数を求めよ．

問３　円$C$が直線$l$と$2$点で交わり，円$C$によって切り取られてできる線分の長さが$1$であるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}(4,0,0)\text{，}\mathrm{B}(1,4,-1)\text{，}\mathrm{C}(3,1,2)$をとる．四面体$\mathrm{OABC}$において線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$および線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{OA}$かつ$\mathrm{PQ}\perp \mathrm{BC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として以下の問いに答えよ．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$及び$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問２　$\mathrm{▵OAQ}$の面積を求めよ．

問３　四面体$\mathrm{OABQ}$の体積を求めよ．

【３】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心として角$\theta \text{（}0\leqq \theta <\pi \text{）}$だけ回転する$1$次変換を$f$とする．また，行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& a\\ b& c\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$g$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$の$f$による像を${\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}$点${\mathrm{Q}}^{\prime }$の$g$による像を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}(x,y)$の$g$による像を${\mathrm{R}}^{\prime }\text{，}$点${\mathrm{R}}^{\prime }$の$f$による像を$\mathrm{R}$とする．

問１　点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

問２　点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

問３　原点とは異なるある点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{R}$とが一致するとき，$g$はどのような$1$次変換を表すか．ただし$c=2(1+ab)$とする．

【４】　関数$y={\displaystyle \frac{x^3+4}{x^2}}$について，定義域，増減，極値，凹凸，漸近線を調べ，グラフの概形を描け．

【５】　一般項が$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{e}^{\frac{k}{n}}$で表される数列$\{a_n\}$を考える．

問１　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を定積分で表し，その値を求めよ．

問２　和${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}{e}^{\frac{k}{n}}$を求めよ．

問３　問２を用いて，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値を求めよ．