2010　滋賀大学　前期MathJax

【１】　大・中・小$3$個のさいころを同時に振り，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\geqq 1$となる確率を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{c}}$となる確率を求めよ．

【２】　$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{BC}=2\mathrm{AD}$である四角形$\mathrm{ABCD}$がある．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}$と$\mathrm{PQ}$が平行であることを示せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{D}$が一直線上にあることを示せ．

【３】　数の集まり$\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\cdots$について，次のように並べてできる数列

$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\cdots$

の第$n$項を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$100$以下の自然数$k$について，$a_k-a_{k+1}\geqq 9$となる$k$の最小値と最大値を求めよ．

(2)　$a_{225}$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{225}}{a}_k$を求めよ．

【４】　放物線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-4x+4$がある．$0<a<2$のとき，$C_1$上の点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$を通り$x$軸に平行な直線を$l$とする．$C_1$と$l$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$$C_2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形のうち$l$より上側の部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．

(2)　$1<a<2$のとき，$C_1$と$l$で囲まれた図形のうち$C_2$より上側の部分の面積を$S_3$とする．$S_3=2S_2$となる$a$の値を求めよ．