2010　滋賀大学　後期MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y=-x^2+4x+3$の軸を$l_0$とし，$2$点$\mathrm{A}$$(3,8)\text{，}$$\mathrm{B}$$(5,4)$を通る直線を$l_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．また，$l_0$に関して$l_1$と対称な直線$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l_1$は共有点を持たないことを示せ．

(3)　$C$上に$x$座標が$p$である点$\mathrm{P}$をとる．$l_2$上に$2$点$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$をとって$\mathrm{AB}=\mathrm{QR}$となるようにする．$\mathrm{▵PAB}$の面積を$S_1$とし，$\mathrm{▵PQR}$の面積を$S_2$とする．$S_1$および$S_2$を中を用いて表せ．

(4)　$S_1+S_2$の最小値と，そのときの$p$の値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{15}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}}$を求めよ．

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

(3)　数学的帰納法によって，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}<2\sqrt{n}$

【３】　さいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目を$X\text{，}$$2$回目に出た目を$Y$とする．$X^Y$の約数の個数を$Z$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，約数には1とその数自身を含むものとする．

(1)　$X=1$から$X=6$までのそれぞれの場合において，$Z$を$Y$を用いて表せ．

(2)　$\sqrt{X^Y}$が整数となる確率を求めよ．

(3)　$Z$の期待値を求めよ．

【４】　$a$を$0\leqq a\leqq 3$を満たす定数とし，$f(x)=x^3-3a^{2}x+6a^2$とする．関数$f(x)$の区間$0\leqq x\leqq 3$における最大値を$M(a)\text{，}$最小値を$m(a)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$M(a)$および$m(a)$を$a$を用いて表せ．

(2)　(1)で求めた$M(a)$を$a$の関数とみなすとき，$M(a)$の区間$0\leqq a\leqq 3$における最大値および最小値を求めよ．

(3)　(1)で求めた$m(a)$を$a$の関数とみなすとき，$m(a)$の区間$0\leqq a\leqq 3$における最大値および最小値を求めよ．