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2010-10535-0101
2010 滋賀医科大学 前期
医(医学科)学部
配点40点
易□ 並□ 難□
【1】(1) y=| x2- 1| のグラフを描け.
(2) a , b を実数とする. x についての方程式
|x 2-1 |-a ⁢x-b =0
が異なる 4 つの実数解を持つような点 ( a,b ) の範囲を図示せよ.
(3) (2)の方程式の解を α , β , γ , δ とするとき, δ-γ =γ-β =β-α が成り立つときの a , b を求めよ.
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【2】 四面体 OABC において, OA→ ⊥OB→ , OA→ ⊥BC→ , OB→ ⊥BC→ とする.
(1) 三角形 OAB , OAC , OBC , ABC はすべて直角三角形であることを示せ.
(2) OC の中点 M から平面 ABC に下した垂線の足を N とする.
CN→ =s⁢ CA→ +t⁢ CB→
と表すときの s , t を,長さ OA , OB で表せ.
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【3】(1) a を実数の定数, f⁡( x) をすべての点で微分可能な関数とする.このとき次の等式を示せ.
f′ ⁡(x )+o ⁢f⁡( x)= e-a ⁢x⁢ (e a⁢x ⁢f⁡( x)) ′
ただし, ′ は x についての微分を表す.
(2) (1)の等式を利用して,次の式を満たす関数 f ⁡(x ) で, f⁡( 0)= 0 となるものを求めよ.
f′ ⁡(x )+2 ⁢f⁡( x)= cos⁡x
(3) (2)で求めた関数 f ⁡(x ) に対して,数列 { | f⁡( n⁢π )| } ( n=1 , 2 , 3 , ⋯ ) の極限値
limn →∞ |f ⁡(n ⁢π) |
を求めよ.
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【4】 2 回微分可能な関数 f ⁡(x ), すなわち f⁡ (x ) の導関数 f ′⁡ (x ) 及び f′⁡ (x ) の導関数 f″⁡ (x ) が存在する関数が,すべての実数 x について
f′ ⁡(x )> f″⁡ (x )
を満たしている.また, a<b とする.
(1) f′⁡ (a) ea > f′ ⁡(b )e b を示せ.
(2) f′⁡ (a) ea > f⁡( b)- f⁡( a) eb- ea > f′ ⁡(b )e b を示せ.
(3) すべての実数 x について f ⁡( x) >0 であるとき,すべての実数 x について
f⁡( x)> f′⁡ (x )> 0
が成立することを示せ.
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【5】 n を 2 以上の自然数として,階乗 n ! を素数の積で表すときに現れる 2 の個数を a n とおく.すなわち n!2 an は奇数である.
(1) ( 2⁢n) !2n ⁢n! は奇数であることを示せ.
(2) a2⁢ n-a n を n を用いて表せ.
(3) n=2k ( n は自然数)のとき, an を n を用いて表せ.
(4) an< n を示せ.
(5) n! n は無理数であることを示せ.