2010　京都大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　座標平面上で，点$(1,2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0\leqq a\leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=1$とする．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AD}=\mathrm{BD}$となるとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$が$4x+y\leqq 9\text{，}$$x+2y\geqq 4\text{，}$$2x-3y\geqq -6$の範囲を動くとき，$2x+y\text{，}$$x^2+y^2$のそれぞれの最大値と最小値を求めよ．

【３】　$1$から$5$までの自然数を$1$列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき$1$番目と$2$番目と$3$番目の数の和と，$3$番目と$4$番目と$5$番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく$1$度ずつ用いるものとする．

【４】　点$\mathrm{O}$を中心とする正十角形において，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を隣接する$2$つの頂点とする．線分$\mathrm{OB}$上に${\mathrm{OP}}^2=\mathrm{OB}\cdot \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{OP}=\mathrm{AB}$が成立することを示せ．

【５】　座標空間内で，$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}(0,1,1)$を頂点にもつ立方体を考える．

(1)　頂点$\mathrm{A}$から対角線$\mathrm{OF}$に下ろした垂線の長さを求めよ．

(2)　この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点$\mathrm{A}\text{，}$頂点$\mathrm{B}$および辺$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{M}$の$3$点を通る平面は辺$\mathrm{CD}$と直交することを示せ．

【３】　$x$を正の実数とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,2)\text{，}\mathrm{P}(x,x)$をとり，$▵\mathrm{APB}$を考える．$x$の値が変化するとき，$\angle \mathrm{APB}$の最大値を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は，すべての正の整数$n$に対して$0\leqq 3a_n\leqq {\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を満たしているとする．このとき，すべての$n$に対して$a_n=0$であることを示せ．

【５】　$a$を正の実数とする．座標平面において曲線$y=\sin x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とし，曲線$y=\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$曲線$y=a\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$T$とする．このとき$S:T=3:1$となるような$a$の値を求めよ．

【６】　座標空間内で，$\mathrm{O}$ $(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,0,1)\text{，}$$\mathrm{E}(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{F}$$(1,1,1)\text{，}$$\mathrm{G}$$(0,1,1)$を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線$\mathrm{OF}$を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

【４】　$1<a<2$とする．$3$辺の長さが$\sqrt{3}\text{，}a\text{，}b$である鋭角三角形の外接円の半径が$1$であるとする．このとき$a$を用いて$b$を表せ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　$n$を正の整数，$a=2^n$とする．$3^a-1$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れないことを示せ．

(2)　$m$を正の偶数とする．$3^m-1$が$2^m$で割り切れるならば$m=2$または$m=4$であることを示せ．

【６】　$n$個のボールを$2n$個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも$1$個以下のボールしか入っていない確率を$p_n$とする．このとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log p_n}{n}}$を求めよ．