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2010-10565-0101
2010 大阪教育大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 平面上に,点 O , A を | OA→ |= 1 であるようにとる. O を中心に A を反時計回りに, π 6 回転させた位置にある点を B , π6 回転させた位置にある点を C とする. a→ =OA→ , b→ =OB→ , c→ =OC→ と表す.次の問に答えよ.
(1) b→ を a → ,c→ を用いて表せ.
(2) ▵OAB の面積と ▵OBC の面積をそれぞれ求めよ.
(3) 直線 AC と直線 OB との交点を D とする.また, B を通って直線 AC に平行な直線と,直線 OA との交点を E とする. d→ =OD→ , e→ =OE→ と表す.このとき, | d→ | と | e→ | をそれぞれ求めよ.
(4) 次の式を満たす点 P の存在する領域の面積を求めよ.
OP→ =s⁢e →+ t⁢c → ,( 0≦s ,0≦t , 1≦s+ t≦2 )
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【2】 自然数 n に対して,
In= ∫ 0π2 ⁡sin n⁡x ⁢dx
とおく.次の問に答えよ.
(1) 定積分 I 1 ,I2 , I3 を求めよ.
(2) 次の不等式を求めよ.
In≧ In+1
(3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ.
In+ 2= n +1n +2 ⁢ In
(4) 次の極限値を求めよ.
limn→ ∞⁡ I2⁢ n+1 I2⁢ n
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【3】 座標平面上で,行列 ( ab cd ) で表される移動を f とする. 0 でないすべての実数 t に対して,点 P (t+ 1t ,t -1 t) が f により曲線 x2- y2= 4 上に移るとき,次の問に答えよ.
(1) a ,b ,c ,d は,
(a +b) 2= (c+ d)2 , (a -b) 2= (c- d)2 , (a2 -c2 )+ (d2 -b2 )=2
を満たすことを示せ.
(2) a ,b ,c ,d は,
a2- c2= d2- b2= 1 ,a⁢b =c⁢d
(3) ( XY )= ( ab cd ) ⁢( x y ) とするとき,
X2- Y2= x2- y2
となることを示せ.
(4) 点 Q が直線 y= x 上にあるとき, f⁡( Q) は直線 y= x または直線 y =-x 上にあることを示せ.
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【4】 点 P は数直線上の原点から出発して,『確率 p で + 1 , 確率 1- p で +2 』の移動を繰り返す.ただし 0 ≦p≦1 とする.このような移動を繰り返して自然数 n の点に到達する確率を p n と表す.次の問に答えよ.
(1) p1 ,p2 , p3 を p を用いて表せ.
(2) pn ,pn +1 ,pn +2 の間の関係式を求めよ.
(3) an= pn+ 1- pn ( n≧1 ) とおくとき,数列 { an } が満たす漸化式を求めよ.
(4) p と n を用いて,一般項 p n を表せ.
(5) 数列 { pn } の極限を調べよ.