2010　奈良女子大学　後期

(1)　$A_1$の$1$辺の長さ$l_1$および$A_2$の$1$辺の長さ$l_2$を求めよ．

(2)　正の整数$n$に対し，円$C_n$の面積を$S_n\text{，}$正三角形$A_n$の面積を$T_n$とする．$S_n$と$T_n$を求めよ．

(3)　(2)の$S_n\text{，}$$T_n$に対して，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}(S_n-T_n)$を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は垂直であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の大きさを求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$のなす角を求めよ．

(1)　連立不等式

$y>x\text{，}$$y<2x-1$

の表す領域を図示せよ．

(2)　$a$を定数とする．連立不等式

$y>x\text{，}$$y<2x-1\text{，}$$y>a(x-2)$

の表す領域が，三角形の内部となるような$a$の条件を求めよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$は異なる$2$つの実数であることを示せ．

(2)　$p=e^{\alpha }\text{，}$$q=e^{\beta }$とおく．$p>1$かつ$q>1$であることを示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(3)　(2)の$p\text{，}$$q$に対し，$I={\log }_{p}q+{\log }_{q}p$とする．$I$を$t$を用いて表せ．さらに，$I$のとり得る値の範囲を求めよ．