2010　鳥取大学　前期

(1)　直線$2x+y=16\cdots \text{①}\text{，}$$2x+3y=24\cdots \text{②}$の$x$切片と$y$切片の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)で定めた直線$\text{①}$と$\text{②}$との交点の座標を求めよ．

(3)　$4$つの不等式$2x+y\leqq 16\text{，}$$2x+3y\leqq 24\text{，}$$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の表す領域を$F$とする．$F$の面積を求めよ．

(4)　点$(x,y)$が(3)で定めた領域$F$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

(1)　傾きが${\displaystyle \frac{4}{3}}$で，点$\mathrm{A}$を通る直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた直線$l$の点$\mathrm{A}$における法線を$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　(1)で求めた直線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}\text{，}$(2)で求めた直線$m$と$y$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．図形$\mathrm{OBAC}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(1)　$2$人乗りの車を持っている$\mathrm{A}$君は，$\mathrm{B}$君，$\mathrm{C}$君と$\mathrm{P}$地点から$\mathrm{Q}$地点へ出かけることにした．$\mathrm{B}$君は$\mathrm{A}$君の車に乗り，$\mathrm{C}$君は歩くこととし，$3$人同時に$\mathrm{P}$地点を出発した．しばらくして$\mathrm{B}$君は車から降りて歩くこととし，$\mathrm{A}$君は$\mathrm{C}$君を迎えに引き返し，$\mathrm{C}$君を乗せて$\mathrm{Q}$地点へ向かうと，ちょうど$\mathrm{Q}$地点で$\mathrm{B}$君と一緒になった．車の速度はつねに毎時$v\mathrm{km}$で，歩く速度は$2$人とも毎時$p\mathrm{km}$$\text{（}v>p\text{）}$とする．乗り降りに要する時間は無視する．

(a)　$\mathrm{P}$地点から$\mathrm{Q}$地点までの平均速度を求めよ．

(b)　$\mathrm{P}$地点から$\mathrm{Q}$地点までの移動でどれだけの時間を$\mathrm{A}$君は$1$人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．

(2)　$2$人乗りの車を持っている$\mathrm{A}$君は，${\mathrm{B}}_1$君，${\mathrm{B}}_2$君，$\cdots \text{，}$${\mathrm{B}}_n$君と$\mathrm{P}$地点から$\mathrm{Q}$地点へ出かけることにした．最初${\mathrm{B}}_1$君は$\mathrm{A}$君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時に$\mathrm{P}$地点を出発した．しばらくして${\mathrm{B}}_1$君は車から降りて歩くこととし，$\mathrm{A}$君は${\mathrm{B}}_2$君を迎えに引き返し，${\mathrm{B}}_2$君を乗せて$\mathrm{Q}$地点へ向かう．途中，歩いている${\mathrm{B}}_1$君と出会ったところで${\mathrm{B}}_2$君を降ろし，${\mathrm{B}}_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後の${\mathrm{B}}_n$君を乗せて$\mathrm{Q}$地点へ向かうと，ちょうど$\mathrm{Q}$地点で全員が一緒になった．車の速度はつねに毎時$v\mathrm{km}$で，歩く速度は全員同じで毎時$p\mathrm{km}$$\text{（}v>p\text{）}$とする．乗り降りに要する時間は無視する．

(a)　$\mathrm{P}$地点から$\mathrm{Q}$地点までの平均速度を求めよ．

(b)　$\mathrm{P}$地点から$\mathrm{Q}$地点までの移動でどれだけの時間を$\mathrm{A}$君は$1$人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AD}$は平行であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．四角形$\mathrm{AFDE}$はどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．

(3)　線分$\mathrm{AF}$と線分$\mathrm{CF}$の長さの比を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(1)　関数$f(x)=x{(\log x)}^n$の導関数を求めよ．

(2)　$I_1$を求めよ．

(3)　$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．

(4)　(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

(1)　関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$の接線で，点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$を通るものが$2$本あることを示し，それらの方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(1)　辺$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AD}$は平行であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．四角形$\mathrm{AFDE}$はどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(1)　方程式$x=a+k\sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．

(2)　不等式$|\sin \theta |\leqq \left|\theta \right|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．

(3)　不等式$|\sin \alpha -\sin \beta |\leqq |\alpha -\beta |$がすべての実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して成立することを示せ．

(4)　数列$\{x_n\}$を，$x_0=0\text{，}$$x_n=a+k\sin x_{n-1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k\sin x$の解に収束することを示せ．