2010　島根大学　前期MathJax

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$a>0$で，放物線$y=f(x)$の頂点が直線$y=x-a$の上にあるとき，$f(x)$を求めよ．

(1)　並べ方は全部で何通りあるか．

(2)　$2$つの$\mathrm{a}$が降り合う並べ方は何通りあるか．

(3)　$2$つの$\mathrm{a}$が隣り合わず，かつ$2$つの$\mathrm{b}$も隣り合わない並べ方は何通りあるか．

(1)　$C_1$上の点$\mathrm{P}$と$C_2$上の点$\mathrm{Q}$との距離$\mathrm{PQ}$の最小値を$a$を用いて表せ．

(2)　$a=11$のとき，$2$つの円$C_1$と$C_2$の共通接線をすべて求めよ．

$\overrightarrow{a}=(n^{\frac{1}{4}},n^{\frac{1}{4}}+1)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(n^{\frac{1}{4}},1-n^{\frac{1}{4}})$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$n$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$が整数となるような$n$を小さい順に$n_1\text{，}$$n_2\text{，}$$\cdots$とするとき，$i$番目の$n_i$を$i$を用いて表せ．

(3)　$n=n_i$に対する$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を${\theta }_i$とおく．自然数$k$に対して，

$S_k={\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2{\theta }_1}}+{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2{\theta }_2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2{\theta }_k}}$

とするとき，$\underset{k\to \infty }{\lim }{S}_k$を求めよ．

(1)　双曲線$C\text{：}{x}^2-y^2=-1$上の点$(1,\sqrt{2})$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$C\text{：}y={(x-k)}^2+n-k\text{，}$

$l\text{：}y=x+n-k$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$と$l$が異なる$2$つの交点をもつ確率を求めよ．

(2)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積$S$を$k$を用いて表せ．

(3)　$n=3$のとき，${(6S)}^{\frac{2}{3}}$の期待値を求めよ．

(1)　すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)={\sin }^{2}x+2\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}f(t)\cos t\mathit{dt}}$

(2)　すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．

$g(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2x+{\displaystyle {\int }_0^x}{g}^{\prime }(t)\cos t\mathit{dt}$

ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\prime }(x)$は連続であるとする．

$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{．}$$X=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$X^2$と$X^3$を求めよ．

(2)　$X^{101}$を求めよ．

(3)　$X^{100}+X^{99}+X^{98}+\cdots +X+E$を求めよ．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\mathrm{iim}}({\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}}-x)$を求めよ．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(3)　$k$を定数とするとき，方程式$x^3-k{x}^2+k=0$の異なる実数解の個数を調べよ．