2010　島根大学　後期総合理工学部MathJax

条件$p$：$n$は$12$の倍数である

条件$q$：$n$は$18$の倍数である

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　条件$p$を満たすが，条件$q$を満たさない$300$以下の自然数$n$の個数を求めよ．

(2)　$n=m^2+m$が条件$p$を満たすが，条件$q$を満たさないような自然数$m$で，$m^2+m$が$300$以下となるものをすべて求めよ．

(1)　$a<0$ならば，$X^2=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& b\end{array}\right)$となる実数を成分とする$2$次正方行列$X$は存在しないことを証明せよ．

(2) $X^2=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 0& b\end{array}\right)$となる実数を成分とする$2$次正方行列$X$が存在するための$a\text{，}$$b$についての必要十分条件を求めよ．

$7\overrightarrow{\mathrm{OA}}+5\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{\angle BOC}$を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{CO}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{▵OHB}$の面積を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^3}}{e}^{-\frac{1}{x^2}}$$\text{（}x>0\text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$を求めよ．ただし，不等式$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$$\text{（}x>0\text{）}$が成り立つことは用いてよい．

(2)　関数$f(x)$の極値を調べ，グラフの概形をかけ．

(3)　自然数$n$に対し$S_n={\displaystyle {\int }_{\frac{1}{n}}^n}f(x)\mathit{dx}$と定めるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．