2010　島根大学　後期総合理工学部数理MathJax

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$の定義を述べよ．

(2)　積の導関数について

${(f(x)g(x))}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

が成り立つ．これはなぜか，説明せよ．

(3)　不定積分の部分積分について

${\displaystyle \int }f(x)g(x)\mathit{dx}=f(x)g(x)-{\displaystyle \int }{f}^{\prime }(x)g(x)\mathit{dx}$

が成り立つ．これはなぜか，説明せよ．

(1)　点$(0,1)$から曲線$C$へ引いた接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　上の問(1)で求めた接線$l$および曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅰ)　$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$に当てはまる数式を書け．

(ⅱ)　下線部$\text{④}$についてその理由を述べよ．

(2)　次の各問いに答えよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2+x-c=0$が整数の解をもつならば$c$は$0$または偶数であることを示せ．

(ⅱ)　問(ⅰ)の逆の主張「$c$が$0$または偶数ならば$2$次方程式$x^2+x-c=0$は整数の解をもつ」は正しいか，それとも誤りか．理由を述べて説明せよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし$a\ne 0$とする．$2$次関数$f(x)=x^2+bx+c$がつねに$f(x)>0$をみたすための条件を求めよ．ただし，結論を導いた過程について詳しく説明すること．

(1)　等式$m^2=5n^2$を満たす自然数$m\text{，}$$n$は存在しないことを示せ．

(2)　$\sqrt{5}$が無理数であることを示せ．