2010　広島大学　前期MathJax

【１】　$k$は定数で，$k>0$とする．曲線$C:y=k{x}^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$2$つの直線$l:y=kx+{\displaystyle \frac{1}{k}}\text{，}m:y=-kx+{\displaystyle \frac{1}{k}}$との交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{（}0<\beta <\alpha \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha -\beta$の値を求めよ．

(2)　$\alpha \beta \text{，}{\alpha }^2+{\beta }^2$および${\alpha }^3-{\beta }^3$を$k$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と$2$直線$l\text{，}m$とで囲まれた部分の面積を最小にする$k$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

【２】座標平面上に点$\mathrm{O}(0,0)$と点$\mathrm{P}(4,3)$をとる．不等式${(x-5)}^2+{(y-10)}^2\leqq 16$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$k$は定数とする。直線$y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}x+k$上の点を$\mathrm{Q}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$k$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{R}$が$D$全体を動くとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$の最大値および最小値を求めよ．

【３】　$p\text{，}a$を実数の定数とする．多項式$P(x)=x^3-(2p+a)x^2+(2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，$3$次方程式$P(x)=0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．

(1)　実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．

(2)　$a$の値を求めよ．

(3)　関数$y=P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の自然数とする．袋の中に$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を$1$個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が順に行い，$3$人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の得点がそれぞれ$4\text{，}2\text{，}4$のときは$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の$2$人が勝者であり，$3$人とも同じ得点のときは$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人とも勝者である．勝者が$k$人（$k=1\text{，}2\text{，}3$）である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　勝者が$3$人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．

(2)　$n=3$の場合に勝者が$2$人である確率$P_3(2)$を求めよ．

(3)　勝者が$1$人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$x\text{，}y$が$4$で割ると$1$余る自然数ならば，積$xy$も$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．

(2)　$0$以上の偶数$n$に対して，$3^n$を$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．

(3)　$1$以上の奇数$n$に対して，$3^n$を$4$で割った余りが$1$でないことを証明せよ．

(4)　$m$を$0$以上の整数とする．$3^{2m}$の正の約数のうち$4$で割ると$1$余る数全体の和を$m$を用いて表せ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の表す$1$次変換$f$によって，点${\mathrm{P}}_1(1,0)$が点${\mathrm{P}}_2(0,3)$に移され，点${\mathrm{P}}_2$が点${\mathrm{P}}_3$に，点${\mathrm{P}}_3$が点${\mathrm{P}}_1(1,0)$にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数である．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

(3)　$\mathrm{O}(0,0)$とする．点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移されるとする．$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとり得る値の範囲を求めよ．

【３】　$t>1$を満たす実数$t$に対して，$S(t)={\displaystyle {\int }_0^1}|x{e}^x-tx|dx$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，方程式$x{e}^x=tx$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)　$S(t)$を求めよ．

(3)　$S(x)$を最小にする$t$の値を求めよ．

【４】　$n$は$2$以上の自然数とする．袋の中に$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を$1$個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が順に行い，$3$人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の得点がそれぞれ$4\text{，}2\text{，}4$のときは$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の$2$人が勝者であり，$3$人とも同じ得点のときは$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人とも勝者である．勝者が$k$人（$k=1\text{，}2\text{，}3$）である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　勝者が$3$人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．

(2)　$n=3$の場合に勝者が$2$人である確率$P_3(2)$を求めよ．

(3)　勝者が$1$人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．

(4)　$P_n(1)\geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．

【５】　$4$で割ると余りが$1$である自然数全体の集合を$\mathrm{A}$とする．すなわち，

$\mathrm{A}=\{4k+1|k\text{は}0\text{以上の整数}\}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$および$y$が$\mathrm{A}$に属するならば，その積$xy$も$\mathrm{A}$に属することを証明せよ．

(2)　$0$以上の偶数$m$に対して，$3^m$は$\mathrm{A}$に属することを証明せよ．

(3)　$m\text{，}n$を$0$以上の整数とする．$m+n$が偶数ならば$3^m{7}^n$は$\mathrm{A}$に属し，$m+n$が奇数ならば$3^m{7}^n$は$\mathrm{A}$に属さないことを証明せよ．

(4)　$m\text{，}n$を$0$以上の整数とする．$3^{2m+1}{7}^{2n+1}$の正の約数のうち$\mathrm{A}$に属する数全体の和を$m$と$n$を用いて表せ．