2010　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の連立不等式を解け．

$\{\begin{array}{l}4x^2-4x-15<0\\ x^2-2x\geqq 0\end{array}$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　鈍角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{\angle A}=30\mathrm{°}$であるとき，$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　原点$\mathrm{O}\text{，}$および$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$がある．$0<s<1$に対して，線分$\mathrm{AB}\text{，}$線分$\mathrm{CA}$を$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　方程式${({\mathrm{1og}}_2\sqrt{x}+{\log }_2{x}^2+{\log }_2{\displaystyle \frac{1}{x}})}^2=9$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　数列$1,a,b,c$はこの順に等差数列であり，数列$a,b,1,c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

【２】　直線$y=a(x+2)$と円$x^2+y^2-4x=0$は異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっているとする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離を求めよ．

(4)　$a$の値が(1)で求めた範囲を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

【３】　$f(x)=x^2-2\left|x\right|-1$とする．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$の交点の座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$4$の数字が書かれたカードが$1$枚，$3$の数字が書かれたカードが$1$枚，$2$の数字が書かれたカードが$2$枚，$1$の数字が書かれたカードが$2$枚，$0$の数字が書かれたカードが$4$枚ある．これら合計$10$枚のカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる．

(1)　左から$4$番目までの$4$枚のカードに書かれた数がすべて$0$となる確率を求めよ．

(2)　右から$1$番目のカードに書かれた数の期待値を求めよ．

(3)　左から$3$番目までの$3$枚のカードに書かれた$3$つの数について，次の条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}$を考える．

$\text{①}$　$3$つの数がすべて異なる．

$\text{②}$　$3$つの数の中で，左から$1$番目のカードに書かれた数$a$が最大である．

　条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}$の両方が同時にみたされた場合の得点を$a$とし，それ以外の場合の得点を$0$とする．

(ⅰ)　得点が$4$となる確率を求めよ．

(ⅱ)　得点の期待値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$と$x\leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(5)　等式${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}(x+a)\cos 2x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．

【６】　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は，すべての自然数$n$について

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{1-{b_n}^2}}\text{，}$$b_{n+1}=a_{n+1}{b}_n$

をみたしているとする．

(1)　初項が$a_1=b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$を求めよ．

(ⅱ)　$a_n\text{，}$$b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

(2)　初項が$a_1={\displaystyle \frac{1}{2010}}\text{，}$$b_1={\displaystyle \frac{2009}{2010}}$であるとする．

(ⅰ)　$a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$で表せ．

(ⅱ)　$a_n+b_n$を求めよ．

【７】　行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 6& -1\end{array}\right)$の表す点の移動を$f$とし，$l$を直線$y=2x-1$とする．また，$f$による$l$上の点の像はすべて$l$上にあり，$l$上のある点$\mathrm{P}$は$f$によって$\mathrm{P}$自身に移されるとする．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　次の条件$\text{①}\text{，}$$\text{②}\text{，}$$\text{③}$をすべてみたす直線$m$の方程式を求めよ．

$\text{①}$　$m$は$\mathrm{P}$を通る．

$\text{②}$　$f$による$m$上の点の像はすべて$m$上にある．

$\text{③}$　$m$は$l$と異なる．

【８】　$n$を自然数とし，$f(x)=x^2{e}^{-\frac{2}{3}{x}^3}$とする．

(1)　関数$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^n}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　不等式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)<{\displaystyle \frac{3}{2}}{e}^{-\frac{2}{3}}$を証明せよ．

【９】　$n$を自然数とし，集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{ala\text{は条件(★)をみたす自然数}\}$

$B=\{a|a\text{は条件(☆)をみたす自然数}\}$

で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．

(★)　$2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，$\alpha -\beta$は整数である．

(☆)　$2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつ．

(1)　$2$つの集合$A\text{，}$$B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．

(2)(ⅰ)　$n=1\text{，}$$2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．

(ⅱ)　集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．

(ⅲ)　集合$A$のすべての要素の和を求めよ．

志望別問題選択一覧

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理，工学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

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