2010　愛媛大学　後期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(1)　$x^4+x^3-3x^2-x+2$$=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)$が$x$についての恒等式となるような定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組合せは$1$通りであり，$1$列に並べる並べ方は$\boxed{\text{ア}}$通りである．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，同じ目のさいころが$2$個以上ある確率は$\boxed{\text{ィ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(3)　自然数$n$に対して，整数$a_n\text{，}$$b_n$を${(2+\sqrt{3})}^n=a_n+b_n\sqrt{3}$によって定める．このとき，

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=\boxed{\text{ウ}}{a}_n+\boxed{\text{エ}}{b}_n\text{，}\\ b_{n+1}=\boxed{\text{オ}}{a}_n+\boxed{\text{カ}}{b}_n\end{array}$

が成り立つ．ただし，$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}$は定数である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(4)　$t>1$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=t\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\text{，}$$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$が$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$をみたすとき，$t=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する数または式を，解答用紙の指定のところに記入せよ．

(5)(ⅰ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\left({\displaystyle \frac{e^x}{e^x+e^{-x}}}\right)=\boxed{\text{ク}}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\log (x+\sqrt{x^2+1})={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\left|\right|x+1|-|x-1\left|\right|$のグラフをかけ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$z^2=i$をみたす複素数$z$のうち，実部が正であるものを求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【２】　次の問いに答えよ．

(3)　不等式$\sqrt{-x^2+10x}<4$を解け．

【２】　次の問いに答えよ．

(4)　$0\leqq a\leqq \pi$とし，連続な関数$f(x)$はすべての実数$x$に対して

$e^{-x}{\displaystyle {\int }_a^x}{e}^{t}f(t)\mathit{dt}=\cos x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

をみたすとする．このとき，$a$の値および$f(x)$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x{\sin }^{2}x\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-1& 2(a-1)\\ 3(a-1)& 6\end{array}\right)$に対して，$2$次の正方行列$B$は

$AB=BA\text{，}$$ABA=A\text{，}$$BAB=B$

をみたしている．

(1)　$A$は逆行列を持たないとする．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$B$を求めよ．

(2)　$A$が逆行列を持つとき，$B$を求めよ．

【４】　$a\text{，}$$b$を定数とし，$x>0$において$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^n+a\log x+b}{x^n+x}}$とおく．

(1)　次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)のそれぞれの場合において，$f(x)$を求めよ．

(ⅰ)　$0<x<1$

(ⅱ)　$x=1$

(ⅲ)　$x>1$

(2)　関数$f(x)$が$x>0$において連続であるとき，$b$の値を求めよ．

(3)　$b$を(2)で求めた値とする．

(ⅰ)　$f(x)$が$x={\displaystyle \frac{1}{e}}$で最大となるとき，$a$の値を求めよ．

(ⅱ) $f(x)$が${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{e}}^e}f(x)\mathit{dx}=e$をみたすとき，$a$の値を求めよ．