2010　九州大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$とする．実数$t\geqq 0$を与えたとき，$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP}=tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{CP}}^2$を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP}=a$を満たすとき，$t$を求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．

【２】　次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取り決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．

(1)　競技者が常にサイコロを$2$回振ると，得点の期待値はいくらか．

(2)　競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．

(3)　得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．

【３】　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を描き，その上半分を$C$とし，その両端を$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{M}$を$\mathrm{NM}=\mathrm{MB}$となるように取る．ただし，$\mathrm{N}\ne \mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{MAB}=\theta$と置くとき，弦の長さ$\mathrm{MB}$及び点$\mathrm{M}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{N}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{NP}$としたとき，$\mathrm{PB}$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$t=\sin \theta$とおく．条件$\mathrm{MB}=\mathrm{PB}$を$t$を用いて表せ．

(4)　$\mathrm{MB}=\mathrm{PB}$となるような点$\mathrm{M}$が唯一つあることを示せ．

【４】　以下の問いに答えよ．答えだけでなく，必ず証明も記せ．

(1)　和$1+2+\cdots +n$を$n$の多項式で表せ．

(2)　和$1^2+2^2+\cdots n^2$を$n$の多項式で表せ．

(3)　和$1^3+2^3+\cdots +n^3$を$n$の多項式で表せ．

【３】　$xy$平面上に曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$を描き，この曲線の第$1$象限内の部分を$C_1\text{，}$第$2$象限内の部分を$C_2$と呼ぶ．$C_1$上の点${\mathrm{P}}_1(a,{\displaystyle \frac{1}{a^2}})$から$C_2$に向けて接線を引き，$C_2$との接点を${\mathrm{Q}}_1$とする．次に点${\mathrm{Q}}_1$から$C_1$に向けて接線を引き，$C_1$との接点を${\mathrm{P}}_2$とする．次に点${\mathrm{P}}_2$から$C_2$に向けて接線を引き，接点を${\mathrm{Q}}_2$とする．以下同様に続けて，$C_1$上の点列${\mathrm{P}}_n$と$C_2$上の点列${\mathrm{Q}}_n$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{Q}}_1$の座標を求めよ．

(2)　三角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積$S_1$を求めよ．

(3)　三角形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$の面積$S_n$を求めよ．

(4)　級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$の和を求めよ．

【４】　中心$(0,a)\text{，}$半径$a$の円を$xy$平面上の$x$軸の上を$x$の正の方向に滑らないように転がす．このとき円上の定点$\mathrm{P}$が原点$(0,0)$を出発するとする．次の問いに答えよ．

(1)　円が角$t$だけ回転したとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$t$が$0$から$2\pi$まで動いて円が一回転したときの点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

(3)　(2)の曲線$C$の長さを求めよ．

【５】　実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,Y)$を

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X=2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+{(Y-1)}^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線全体の上を動くための$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．