2010　佐賀大学　前期

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　等式$2\sin k\theta \sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=\cos (k-{\displaystyle \frac{1}{2}})\theta -\cos (k+{\displaystyle \frac{1}{2}})\theta$を示せ．

(2)　$n$が自然数のとき，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\sin k\theta$を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$と$r$を自然数とする．

(ⅰ)　$n\geqq 2\text{，}$$r\leqq n-1$のとき${}_{n}C_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-1}C_r$を示せ．

(ⅱ)　$n\geqq 3\text{，}$$r\leqq n-2$のとき${}_{n}C_r={}_{n-1}C_{r-1}+{}_{n-2}C_{r-1}+{}_{n-2}C_r$を示せ．

(ⅲ)　$n\geqq 2\text{，}$$r\leqq n-1$のとき${}_{n}C_r={\displaystyle \sum _{k=1}^{n-r}}{}_{n-k}C_{r-1}+{}_{r}C_r$を示せ．

(2)「あるアイスクリーム店で，$6$種類のアイスクリームから通常料金の半額で$3$種類のアイスクリームを選べるという，格安$3$点セールを実施している．異なる$3$種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．

(答案)

まず$4+3+2+1=10$である．

次に$3+2+1=6$となる．

さらに$2+1=3$である．

最後に$1$がある．

よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは$20$通りである．

【３】　次の定理を証明せよ．

「三角形の$3$本の中線は$1$点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分される．」

【４】　$p$を$0<p<1$を満たす定数とする．関数$y=x^3-(3p+2)x^2+8px$の区間$0\leqq x\leqq 1$における最大値と最小値を求めよ．

【１】　空間に定点$\mathrm{A}$$(-4,0,4\sqrt{3})$と動点$\mathrm{P}$$(-t,t-2,2\sqrt{3})\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,t^2+t-3,0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t=0$のとき，$\mathrm{\angle POQ}$の大きさを求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．

【２】　座標平面上で，直線$l\text{：}y=mx$に関する対称移動によって，点$\mathrm{P}$$(x,y)$が点$\mathrm{Q}$$(x^{\prime },y^{\prime })$に移ったとする．ただし，$m$は$0$でない定数とし，点$\mathrm{P}$は$l$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の中点が$l$上にあることと，線分$\mathrm{PQ}$が$l$と垂直に交わっていることを利用して

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{1+m^2}}\left(\begin{array}{cc}1-m^2& 2m\\ 2m& m^2-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が成り立つことを示せ．

(2)　直線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x\text{，}$$y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$に関する対称移動を表す$1$次変換をそれぞれ$f\text{，}$$g$とする．このとき，合成変換$g\circ f$および$f\circ g$を表す行列を求めよ．

(3)　(2)で求めた$2$つの行列は，原点$\mathrm{O}$を中心とし，角$\theta$だけ回転する$1$次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．

【３】　曲線$C$を$y=e^x$とする．$C$上の点${\mathrm{A}}_0$$(0,1)$における接線と$x$軸の交点を${\mathrm{B}}_1$$(b_1,0)$とし，$C$上の点$\mathrm{A}$$(b_1,e^{b_1})$における接線と$x$軸の交点を${\mathrm{B}}_2$$(b_2,0)$とする．これをくりかえし，$C$上の点${\mathrm{A}}_n$$(b_n,e^{b_n})$における接線と$x$軸の交点を${\mathrm{B}}_{n+1}$$(b_{n+1},0)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_1$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求め，一般項$b_n$を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵}{\mathrm{B}}_n{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．ただし，${\mathrm{B}}_0$は原点とする．

【４】　$e$は自然対数の底，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数である．放物線$y=a{x}^2+b$を$C_1$とし，曲線$y=c\log x$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点$\mathrm{P}$$(e.e)$で接しているとき，次の問いに答えよ．ここで，$2$つの曲線が点$\mathrm{P}$で接しているとは，ともに点$\mathrm{P}$を通り，かつ，その点における接線が一致していることである．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．

(2)　$C_1\text{，}$$C_2$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$が

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}+b=2(a_n+b)$が成り立つような定数$b$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{a_{2n}}{a_n}}\geqq {10}^{25}+1$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　$\theta$の関数$f(\theta )=A\sin (\theta +\alpha )$は$f(0\mathrm{°})=1\text{，}$$f(90\mathrm{°})=1$をみたしている．ただし，$A>0\text{，}$$0\mathrm{°}\leqq \alpha <360\mathrm{°}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$と$\alpha$を求めよ．

(2)　$f(\alpha +30\mathrm{°})$と$\sin (\alpha +30\mathrm{°})\cos (\alpha +30\mathrm{°})$を求めよ．

(3)　$\theta$の関数$g(\theta )$は

${\{f(\theta )\}}^{2}g(\theta )-k{\{f(\theta )\}}^2$$=2{\{g(\theta )\}}^2-2kg(\theta )+g(\theta )-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

$g(\alpha +30\mathrm{°})=\sin (\alpha +30\mathrm{°})\cos (\alpha +30\mathrm{°})$

をみたしている．実数$k$と$g(\theta )$を求めよ．

【３】　放物線$y=-x^2+6x-7$を$C_1$とし，$C_1$の頂点を$\mathrm{A}\text{，}$$C_1$上の点$(1,-2)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る放物線$y=a{x}^2+bx+c$を$C_2$とする．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数，$a>0$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$b$と$c$を$a$を用いて表せ．

(4)　$C_2$と$l$で囲まれた図形の面積を$a$を用いて表せ．