2010　佐賀大学　後期

【１】　数列$\{a_n\}$は，初項$a_1=1$で，公差が$2$の等差数列とし，数列$\{b_n\}$は

${\log }_2{b}_n=a_n+{\log }_{2}3$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　一般項$b_n$を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$S_n$に対して，${\displaystyle \frac{S_n+514}{80}}\leqq 2^n$をみたす番号$n$をすべて求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$とし，$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに，線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{OE}$は垂直に交わっているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$と$\cos \mathrm{\angle AOB}$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵OCD}$の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=-x^2+2x+3$を$C$とする．長方形$\mathrm{PQRS}$を，辺$\mathrm{PQ}$が$x$軸上にあり，$2$点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が$C$上にあるようにとる．ただし，点$\mathrm{P}$の$x$座標は点$\mathrm{Q}$の$x$座標より小さく，$2$点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$の$y$座標は正とする．$\mathrm{PQ}=\mathrm{RS}=2a$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の頂点を求めよ．

(2)　$a$の範囲を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$の$y$座標を$a$を用いて表せ．

(4)　長方形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　放物線$y=x^2$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$(a,a^2-1)$を通る$C$の$2$つの接線の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$本の接線と$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．