2010　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(a)　$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．

(b)　$a$が無理数ならば，$\sqrt{a}$も無理数である．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}=75\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle B}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

【２】　座標平面において，点$\mathrm{C}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を中心とし，半径が${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円を$S$とする．$S$上に点$\mathrm{N}$$(0,1)$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{n}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表すものとする．

(1)　$x$軸上に点$\mathrm{P}$$(x,0)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=a\overrightarrow{p}+b\overrightarrow{n}$の形で表したとき，$a\text{，}$$b$を$x$で表せ．

(2)　$x$軸上に$2$点${\mathrm{P}}_1$$(x_1,0)\text{，}$${\mathrm{P}}_2$$(x_2,0)$をとる．直線$\mathrm{N}{\mathrm{P}}_1$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを${\mathrm{Q}}_1$とし，直線$\mathrm{N}{\mathrm{P}}_2$と円$S$との交点のうち，$\mathrm{N}$と異なるものを${\mathrm{Q}}_2$とする．このとき，$x_1{x}_2=-1$が成り立っていれば

$\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{Q}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{C}{\mathrm{Q}}_2}=\overrightarrow{0}$

が成立することを証明せよ．ただし，$\overrightarrow{0}$は零ベクトルを表すものとする．

【３-１】　次の各問いに答えよ．

(1)　直線$l\text{：}y=ax+b$が原点を中心とする半径$1$の円と点$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$で接しているとする．また，直線$l$は放物線$C\text{：}y=x^2-\sqrt{3}x+c$とも接しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(a)　定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(b)　放物線$C$と直線$l$との接点の座標および定数$c$の値を求めよ．

(c)　放物線$C$と直線$l$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３-１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$0\leqq a\leqq \pi$の範囲で，

$5{\sin }^2\theta +14\cos \theta -13\geqq 0$

を満たす$\theta$の中で最大のものを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$と$\tan 2\alpha$の値を求めよ．

【３-２】　$a$を正の定数とし，関数

$f(x)=(x-a)e^{-x}$

について，次の各問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(3)　関数$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．

(4)　$n$を正の整数とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a+n$とで囲まれた部分の面積$S_n$を$n$と$a$で表せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【４】　$a$を$0$以上の実数とし，$x>-1$で定義された関数

$f(x)=2x^2+(1-a^2)\log (x+1)$

について，次の各問いに答えよ．

(1)　方程式$f^{\prime }(x)=0$が$x>-1$で異なる$2$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(3)　$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は${\displaystyle \frac{1-2\log 2}{2}}$より大きいことを証明せよ．

【５-１】　$2$次の正方行列$A\text{，}$$B$について，次の各問いに答えよ．

(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{4}{5}}& b\\ c& d\end{array}\right)$は原点のまわりの回転移動を表し，$b>0$である．行列$A$を求めよ．

(2)　行列$B$の表す移動（$1$次変換）に続いて行列$A$の表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）は$y$軸に関する対称移動になる．行列$B$を求めよ．

(3)　$B\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を満たす点$(x,y)$の集まりは直線となることを示せ．また，その直線を表す式を求めよ．

(4)　$B\left(\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$を満たす列ベクトル$\left(\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right)$を求めよ．また，この列ベクトルと自然数$n$に対し，$B^n\left(\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right)$を求めよ．

【５-２】　$x^2-y^2=2$で表される曲線を$C$とし，$\mathrm{P}$$(x_0，y_0)$を$C$上の点とする．次の各問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線$l$の方程式は

$x_{0}x-y_{0}y=2$

となることを証明せよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から$l$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．$\mathrm{H}$の座標を$(x_1,y_1)$とするとき，$x_1\text{，}$$y_1$を$x_0$と$y_0$で表せ．

(3)　$\mathrm{F}$$(1,0)\text{，}$${\mathrm{F}}^{\prime }$$(-1,0)$とする．$\mathrm{FH}\cdot {\mathrm{F}}^{\prime }\mathrm{H}$は点$\mathrm{P}$の取り方によらず一定であることを証明せよ．また，その値を求めよ．

【５-３】　袋の中に$1$の数字が書かれている球が$5$個，$2$の数字が書かれている球が$3$個，$5$の数字が書かれている球が$2$個の合計$10$個の球が入っている．$1$個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．$i$回目に取り出した球に書かれている数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．

(2)　$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z\leqq 4)$の値を求めよ．

(3)　$W=X_1-X_2$とするとき，

$P(W\leqq a)\leqq P(Z\leqq 4)$

を満たす整数$a$の最大値を求めよ．

(4)　$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．

【５-４】　数字$1$が書かれたカードが$1$枚，数字$2$が書かれたカードが$2$枚，数字$3$が書かれたカードが$1$枚の合計$4$枚のカードがある．この$4$枚のカードを母集団とし，カードに書かれている数字を変量とする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，母集団の中から標本を抽出するのに，毎回もとに戻してから次のものを$1$個ずつ取り出すことを復元抽出といい，取り出したものをもとに戻さずに続けて抽出することを非復元抽出という．

(1)　母平均$m$と母標準偏差$\sigma$を求めよ．

(2)　この母集団から，非復元抽出によって，大きさ$2$の無作為標本を抽出し，そのカードの数字を取り出した順に$Y_1\text{，}$$Y_2$とする．標本平均$\bar{Y}={\displaystyle \frac{Y_1+Y_2}{2}}$の確率分布，期待値$E(\bar{Y})\text{，}$標準偏差$\sigma (\bar{Y})$を求めよ．

(3)　この母集団から，復元抽出によって，大きさ$200$の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\bar{X}$とする．このとき，標本平均$\bar{X}$が近似的に正規分布に従うとみなすことができるとして，$P(\bar{X}<a)=0.05$を満たす定数$a$を求めよ．ただし，確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき，$P(Z>1.65)=0.05$とする．