2010　鹿児島大学　AO数理情報科学科MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　事情により掲載せず．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　$X^2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$を満たす$2$次の正方行列$X$をすべて求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }(x^2+1)\cos 2x\mathit{dx}$

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x\text{，}$$\mathrm{BC}=2$とする．ただし$x>1$である．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の内接円の面積$S$を$x$で表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の面積$T$を$x$で表せ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }S\text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T}{x^2}}$を求めよ．

【３】　正の整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が

$a^2-3b^2=c^2$

を満たすとき，次の各問いに答えよ．

(1)　正の整数$m$の$2$乗$m^2$を$4$で割った余りは，$0$または$1$であることを示せ．

(2)　$a\text{，}$$b$のうち少なくとも$1$つは偶数であることを示せ．

(3)　$a$が奇数ならば，$b$は$4$の倍数であることを示せ．

【４】　区間$[-1,1]$で定義されたある関数$f(x)$に対して関数$g(x)$を

$g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{（}\left|x\right|\leqq 1\text{のとき）}\\ 0& \text{（}\left|x\right|>1\text{のとき）}\end{array}$

と定めたとき，$g(x)$が次の条件(a)〜(c)を満たしたとする．

(a)　$g(x)$はすべての$x$で微分可能

(b)　すべての$x$について$g(-x)=g(x)$

(c)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}g(x)\mathit{dx}=1$

このような関数$f(x)$の例を$1$つ作れ．さらに，その例に対して定まる関数$g(x)$が(a))〜(c)を実際に満たすことを説明せよ．

【５】　ある工場で大量生産される製品には，確率$p$で不良品が含まれる．この製品が良品か不良品かを判定する品質検査では，確率$q$で「不良品を良品である」と誤った判定をしてしまい，また，確率$r$で「良品を不良品である」と誤った判定をしてしまうという．ここで，$0<p\text{，}$$q\text{，}$$r<1$である．

(1)　この製品の品質検査で，不良品と判定される確率を求めよ．

(2)　この製品の品質検査で不良品と判定された製品が，本当に不良品である確率を求めよ．

(3)　いま，$p=0.1\text{，}$$r=0.01$であると仮定する．(2)の確率を$0.9$以上にするためには，$q$はどんな範囲の値でなければならないか求めよ．