2010　福島県立医科大学　前期

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$4s^2+t^2=4$を満たす実数$s\text{，}t$について，$12s^2+16st-3t^2$の値を最小とする$s\text{，}t$の値を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　点$(2,-2)\text{，}(4,4)$をそれぞれ点$(1,0)\text{，}(2,2)$に移す$1$次変換を$f$とし，放物線$C_1\text{：}y=x^2$を$f$によって移した曲線を$C_2$とする．$C_1$上のある点$\mathrm{P}$における法線は$C_2$上のある点における法線と一致する．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(3)　どの$3$点も$1$つの直線上にない点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$について，三角形$\mathrm{DBC}\text{，}\mathrm{DCA}\text{，}\mathrm{DAB}$の重心をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{EFG}$が相似であることを示し，面積比を求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$の三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_1$から$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_2$から$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を${\mathrm{P}}_3$とする．また，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(5)　$m$を自然数とする．すべての$x>0$について，$a_m+{\displaystyle {\int }_0^x}{t}^m{e}^{3t}dt={\displaystyle \sum _{k=0}^m}{a}_k{x}^{m-k}{e}^{3x}$を満たす数列$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}m\text{）}$について，$S_m={\displaystyle \sum _{k=0}^m}{\displaystyle \frac{a_k}{k!}}$の値を$m$で表せ．

【２】　関数$f(x)={(\log x)}^2+2\log x$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．原点$\mathrm{O}$から$C$に引いた$2$本の接線と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{A}(a,f(a))\text{，}\mathrm{B}(b,f(b))$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の増減，極値，変曲点を調べ，曲線$C$の概形を描け．

(2)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(3)　曲線$C$の点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分と線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$で囲まれる図形を$y$軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ．

【３】　$p\text{，}q$は互いに素な自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q$がともに奇数であるとき，$p^4+q^4$は自然数の$2$乗にならないことを示せ．

(2)　$q$は奇数とする．次の手順にしたがって，${(2p)}^4+q^4$が自然数の$2$乗にならないことを背理法を用いて示せ．

(ⅰ)　次の仮定(H)が成り立つものとして，以下の問(A)〜(D)に答えよ．

仮定(H)：${(2p)}^4+q^4=r^2$となる自然数$r$が存在する．

(A)　$2p$と$r$は互いに素になることを示せ．

(B)　互いに素な自然数$m\text{，}n$があって，$r+{(2p)}^2=m^4\text{，}r-{(2p)}^2=n^4$と表せることを示せ．

(C)　(B)の$m\text{，}n$について，$m+n=2a\text{，}m-n=2b$とおく．$p^2$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(D)　$2p_1$と$q_1$が互いに素になり，$p=2p_1{q}_1{r}_1$かつ${(2p_1)}^4+{(q_1)}^4={(r_1)}^2$となる自然数$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1$が存在することを示せ．

(ⅱ)　(ⅰ)の仮定(H)が成り立たないことを示せ．